En un teorema de Jacobson

Question

En un comentario a una respuesta a un MO pregunta, en la que Bill Dubuque mencionado Jacobson del teorema que indica que un anillo en el que $X^n=X$ es una identidad es conmutativa (teorema de la que se ha mostrado en MO bastante recientemente, por ejemplo, aquí), Pierre-Yves Gaillard observa que hay un teorema más general en el que $n$ es permitido ser diferente para cada elemento del anillo, así que, de hecho, podemos reformular el teorema diciendo que el conjunto de $S=\{X^n-X:n>1\}\subset\mathbb Z[X]$ tiene la siguiente propiedad:

Si $A$ es un anillo tal que para cada $a\in A$ hay un $f\in S$ tal que $f(a)=0$,, a continuación, $A$ es conmutativa.

Por supuesto, $S\cup (-S)$ también tiene esta propiedad, e incluso si construimos $S'$ de $S\cup(-S)$ por el cierre en virtud de la operación de la toma de divisores en $\mathbb Z[X]$, también tiene la misma propiedad. Pierre-Yves le preguntó entonces:

Es $S'$ máxima para esta propiedad?

Así, no?

Answer 1

Herstein demostrado que $S$ puede ser ampliada para el conjunto de todos los $a^2 p(a) - a$ con $p$ un polinomio (con coeficientes enteros).

EDIT. Herstein del conjunto puede ser máxima. El conjunto no puede contener ningún polinomios cuya desaparición sería consistente con el anillo que contiene (distinto de cero) nilpotent elementos, de modo que nada en $S$ puede ser divisible por $a^2$. El menor grado términos son también muy limitados por la condición de que si no es $p$-torsión entonces no $p^2$-torsión.