Lo que debe motivos para $L(E,n)$ parece?

Question

Goncharov y Manin mostró en este trabajo que los zeta valores de $\zeta(n)$ puede ser realizado como períodos de enmarcado mixto Tate motivos construido a partir de módulos de espacios de $\overline{\mathcal{M}}_{0,n+3}$ de los racionales en curvas. (Ver también este MO-pregunta para una discusión.) Me gustaría saber si análoga se espera que las declaraciones (o tal vez incluso sabe?) para el especial de los valores de $L$-funciones de curvas elípticas.

Así que vamos a $E$ ser una curva elíptica sobre un campo de número de $K$ e $L(E,s)$ asociado de Hasse-Weil $L$-función. Si $E$ es modular, entonces Beilinson del teorema nos dice que los valores de $L(E,n)$ para $n\geq 2$ son períodos, ver, por ejemplo, de este MO-pregunta. Es así que, en principio, posible escribir $L(E,n)$ como parte integral de un racional diferencial formar más de un ciclo en una variedad algebraica (aproximadamente).

• Puede la correspondiente variedad ser más explícito (lo ideal es tan explícita como en la obra de Goncharov y Manin)? Ha habido algún trabajo en esta dirección?

• Lo que debe enmarcarse motivos darse cuenta de $L(E,n)$ parece?

(Yo sé que hay un papel por Brown y Levin en varios elíptica polylogarithms, basado en la configuración de los espacios de los puntos marcados en la curva elíptica. Sin embargo, los motivos que darse cuenta de elíptica polylogarithms no parecen ser explícitamente discutido en el papel.)

• Podríamos esperar enmarcada motivos darse cuenta de valores especiales $L(E,n)$ a ser construido a partir de la configuración de los espacios de los puntos en $E$?

Answer 1

Vamos a considerar primero sus análogos en el caso de un campo de número de $F$. A continuación, se cree que los valores especiales de la Dedekind zeta función de $\zeta_{F}(n)$ es una combinación lineal de varias polylogarithms, evaluado en algunas configuraciones de puntos de $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ definido a lo largo del $F$. Varios polylogarithms son los períodos de la pro-unipotentes la finalización de un pinchazo en un proyectiva de la línea. Esta es una versión debilitada de Zagier conjetura, conocido por $n\leq 4.$

Creo que similar se espera en su caso, con $\mathbb{P}^1$ sustituida por la curva elíptica. Para $n=3$ es conocido por modular de curvas elípticas. La relación entre la generalización de Eisenstein-Kronecker y pro-unipotentes de la finalización del grupo fundamental de la pinchada de curva elíptica se explica aquí (teorema 11.9).