¿El anillo de $R = \mathbb{Z}[X^{\pm1}]$ de los polinomios de Laurent sobre $\mathbb{Z}$ satisfacer $SL_2(R) = E_2(R)$?

Question

Deje $R = \mathbb{Z}[X^{\pm1}]$ ser el anillo de Laurent polinomios en una indeterminada sobre $\mathbb{Z}$. Deje $E_2(R)$ ser el subgrupo de $GL_2(R)$ generado por las matrices que difieren de la identidad por un solo fuera de la diagonal elemento. La cuestión de si $SL_2(R) = E_2(R)$ es un problema de S. Bachmuth y H. Y. Mochizuki [2]. También es un problema abierto en [3, MA1] y una conjetura en [4].

Estoy muy curioso acerca de la situación de este problema/conjetura o de cualquier avance en el mismo.

Un complemento que se le solicite por la primera respuesta: P. M. Cohn demostrado que $SL_2(R) \neq E_2(R)$ para$R = \mathbb{Z}[X]$, considerando la matriz de $\begin{pmatrix} 1 + 2X & 4 \\ -X^2 & 1 - 2X \end{pmatrix}$ después de su [Lema 8.4, 1]. Esta matriz es fácilmente visto a sentarse en $E_2(\mathbb{Z}[X^{\pm 1}])$ por la cancelación de uno de los coeficientes y a continuación, utilizando Whitehead del lexema. P. M. Cohn también demostró el uso de [la Proposición 7.2, 1] que la matriz $\begin{pmatrix} 1 + XY & X^2 \\ -Y^2 & 1 - XY \end{pmatrix}$ no radica en $E_2(k[X, Y])$ para cualquier campo $k$. Esta matriz se conoce generalmente como Cohn matriz y admite la siguiente generalización discutido por T. Y. Lam y T. Dorsey [Ejemplo VI.3.5, 5]: $C_{m, n}(X, Y) = \begin{pmatrix} 1 + XY & X^n Y^m \\ (-1)^r X^m Y^n & 1 - XY + X^2 Y^2 - \cdots + (-1)^r X^r Y^r \end{pmatrix}$ donde $m, n \ge 0$ e $r = m + n - 1 \ge 0$. La primera respuesta del autor legítimamente le preguntará si $C_{0, 3}(X - 1, p)$ se encuentra en $E_2(\mathbb{Z}[X^{\pm 1}])$ para $p$ un número primo (se sabe que $C_{m, n}(x, y) \in E_3(R)$ para cualquier elemento $x, y$ en un anillo conmutativo $R$).

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[1] "En la estructura de la $GL_2$ de un anillo", P. M. Cohn, 1966.
[2] "$E_2 \neq SL_2$ para la mayoría de Laurent polinomio anillos", S. Bachmuth, H. Y. Mochizuki, 1982.
[3] "problemas Abiertos en combinatoria, teoría de grupos", G. Baumslag et al., 2000.
[4] "El finito y primaria en la generación de $SL_2(R)$", P. Abramenko, 2007, http://arxiv.org/abs/0808.1095.
[5] "Serre del problema en módulos proyectivos", T. Y Lam, 2006.

Answer 1

Esto es sólo un comentario largo. Yo creo que de $\mathbb{F}_q[x,t^{\pm 1}]$ como el campo de función analógica de $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$. Por último, se sabe que $SL_2\neq E_2$ a partir de los resultados en el siguiente artículo:

• S. Krstic y J. McCool. Libre de los cocientes de $SL_2(R[x])$. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 125 (1997), 1585-1588.

Aplicar el principal resultado de Krstic-McCool a $R=\mathbb{F}_q[t,t^{-1}]$ implica que las matrices $$ \left(\begin{array}{cc} 1+(t-1)x^k & x^{3k}\\ (t-1)^3 & 1-(t-1)x^k+(t-1)^2x^{2k} \end{array}\right) $$ mapa a base de una libre cociente de $SL_2(\mathbb{F}_q[x,t,t^{-1}])/E_2$. En particular, ellos son testigos de que $SL_2$ está lejos de elementarily generado. También es posible ver que las anteriores matrices no están en la escuela primaria, el subgrupo de uso de Parque de la realización de un algoritmo.

El ingenuo de traducción para el anillo en cuestión sugiere los siguientes candidatos para las matrices en $SL_2(\mathbb{Z}[t,t^{-1}])$ que no son productos de matrices elementales: $$ \left(\begin{array}{cc} 1+(t-1)p & p^{3}\\ (t-1)^3 & 1-(t-1)p+(t-1)^2p^{2} \end{array}\right) $$ Como ya he dicho, esto no es una respuesta, porque no tengo idea de cómo mostrar que estas matrices están en la escuela primaria, el subgrupo (o factor de ellas como producto de matrices elementales).