¿Por qué el número de distribuciones de probabilidad posibles tiene la cardinalidad del continuo?

Question

El artículo de Wikipedia sobre los modelos estadísticos paramétricos ( https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_model ) menciona que se podrían parametrizar todas las distribuciones de probabilidad con un parámetro real unidimensional, ya que el conjunto de todas las medidas de probabilidad & $\mathbb{R}$ comparten la misma cardinalidad.

Este hecho se menciona en el texto citado (Bickel et al, Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models), pero no se demuestra ni se desarrolla.

Esto me parece muy bonito. (Si hubiera tenido que adivinar, habría supuesto que el conjunto de posibles distribuciones de probabilidad sería mayor, ya que las pdf son funciones $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y estamos contando las distribuciones de probabilidad que no tienen una densidad, también. Tiene que ser la aditividad contable la que restrinja el número de distribuciones posibles, pero ¿cómo?)

¿Dónde podría encontrar una prueba de esto, o es lo suficientemente sencillo como para esbozarlo en una respuesta aquí? ¿Depende su demostración de AC o de la hipótesis del continuo? ¿Necesitamos algún tipo de condición sobre la cardinalidad del espacio muestral que ni Wikipedia ni Bickel mencionan, verdad (si es demasiado grande, entonces el número de distribuciones de probabilidad degeneradas es demasiado grande)?

Answer 1

Una probabilidad sobre $\mathbb{R}$ sea continua o no, viene dada por su FCD $x \mapsto\mathbb{P}(X \leq x)$ . Una FCD es continua por la derecha, y el conjunto de funciones continuas por la derecha tiene la cardinalidad de $\mathbb{R}$ . Para ver esto, se puede argumentar, por ejemplo, que los valores de dicha función vienen dados por sus valores en los puntos racionales, por lo que tiene como máximo la cardinalidad de un producto contable de copias de $\mathbb{R}$ que tiene la cardinalidad de $\mathbb{R}$ también.

Answer 2

Para ampliar la cuestión de AC/CH, el argumento de Raoul no depende de ninguno de ellos, ya que se puede dar una inyección explícita a partir de secuencias de valor real $x_1,x_2,\ldots$ a $\mathbb R$ (y existe una biyección explícita entre $\mathbb Q$ y $\mathbb N$ Así pues, entre $\mathbb R^{\mathbb Q}$ y $\mathbb R^{\mathbb N}$ ). Para ello, escriba cada valor como un decimal (convirtiendo $0.1999...$ a $0.2$ etc.). A continuación, forme un nuevo decimal infinito de la siguiente manera: los dígitos en lugares Impares son los dígitos de $x_1$ , en orden; los que están en lugares $\equiv 2$ mod $4$ son dígitos de $x_2$ los que están en lugares $\equiv 4$ mod $8$ dígitos de $x_3$ y así sucesivamente. Dado que infinitos dígitos de $x_1$ no son $9$ lo mismo ocurre con el decimal que obtenemos por este proceso, y se pueden recuperar fácilmente los dígitos de cada $x_i$ del decimal final, por lo que se trata de una inyección.