La prueba de que la relación entre los registros de los productos y MCM de los números de Fibonacci converge a $\frac{\pi^2}{6}$

Question

Me encontré con este increíble hecho en Twitter. $$\lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(F_1 \cdots F_n\right)}{\log \text{LCM}\left(F_1, \ldots, F_n\right)} = \frac{\pi^2}{6}$$

donde $F_i$ es el $i$ésimo número de Fibonacci y LCM = Mínimo Común Múltiplo. Este es un interesante vínculo entre los números de Fibonacci (que están estrechamente vinculadas a la Proporción áurea $\varphi$) y $\pi$. Estoy tratando de demostrar por qué este es el caso.

Sé que, para el numerador, que va a ser algo así como \begin{align} \log\left(F_1 \cdots F_n\right) &\sim \log\left(\varphi^1 \cdots \varphi^n\right) \\ &\sim \frac{\log \varphi}{2} n^2 \end{align}

La ingeniería inversa, que me dice que el denominador será el mismo, pero con un factor adicional de $\frac{6}{\pi^2}$. Lo que me pregunto es, ¿cómo demostrar que este será el caso? Algunas herramientas pueden ser que $$\prod_i \left(1 - \frac{1}{p_i^2}\right) = \frac{6}{\pi^2}$$, where $p_i$ is the $i$th prime. Also, it's not hard to show that the LCM of the first $n$ natural numbers is roughly $e^n$. Finally, the probability that the $n$th Fibonacci is prime is roughly $\sim\frac{\log\varphi}{n}$ creo (aunque no estoy realmente seguro de si esto ha sido demostrado).

Como un aparte, aunque es genial que esto se hace con la secuencia de Fibonacci, a juzgar por cómo la $\varphi$ factor de forma limpia cancela en la parte superior y la parte inferior, tengo la sensación de que este hecho podría ser cierto para otros lineal entero de relaciones de recurrencia que tiene de la explosión de una autovalor dominante.

Answer 1

Una completa prueba de este hecho puede encontrarse en el papel de Una nueva Fórmula de $\pi$ por Yuri V. Matiyasevich y Richard K. Guy.

Un breve resumen: Notaciones voy a utilizar:

1. Deje $\mu$ denotar la función de Möbius,
2. deje $w_n:=\operatorname{LCM}(F_1,F_2,\dots,F_n)$.

Como te has dado cuenta, tenemos (para $n$) \begin{equation}\tag 1\label 1 \log(F_1\cdots F_n)\sim \frac{n^2 \ln\tau}{2}, \end{equation} donde $\tau=\frac{1+\sqrt 5}{2}$ denota la proporción áurea.

Para demostrar su afirmación es equivalente a probar que (para $n$) \begin{equation}\tag 2\label 2 \ln w_m \sim 3\ln(\tau)\frac{m^2}{\pi^2}. \end{equation}

En el papel, \eqref{2} es llamado de Chebyshev de la forma del teorema de los números primos de los números de Fibonacci.

Por bastante extenso en las aplicaciones de los resultados sobre funciones Aritméticas y la Möbius de la inversión de la fórmula, se obtiene

\begin{equation}\tag 3\label 3\begin{split} \ln w_m &= \sum_{d=1}^m \sum_{i \text{ such that } i | d} \mu\left(\frac di\right)\ln F_i \\ &= B(m)+\sum_{d=1}^m \sum_{i \text{ such that } i | d} \mu\left(\frac di\right) i \ln\tau, \end{split} \end{equation} donde $0\le B(m)< 2m^\frac32$.

Uno puede escribir (por elemental resultados de Euler totient función de $\phi$) \begin{equation}\tag 4\label 4 \sum_{d=1}^m \sum_{i \text{ such that } i | d} \mu\left(\frac di\right) i \ln\tau = \ln\tau\cdot\sum_{d=1}^m \phi(d)\sim 3\ln(\tau)\frac{m^2}{\pi^2} \end{equation} (la última similitud es un probado un resultado de la Teoría de números.)

Así que, como resultado, $$\ln w_m \sim 3\ln(\tau)\frac{m^2}{\pi^2} + B(m),$$ where $0\le B(m)< 2m^\frac32$.

De esto se deduce \eqref{2} y por lo tanto también su resultado.