Las secuencias en las $\sum\limits_{n=k}^{\infty}{a_n}=\sum\limits_{n=k}^{\infty}{a_n^2}$

Question

Hace poco estuve viendo la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{\sin{n}\over{n}}$, para los que el valor muy limpiamente, viene a ser ${1\over2}(\pi-1)$, que es un lugar fresco de la forma cerrada.

Entonces me preguntaba qué pasaría con el valor de la serie, si todos los términos en la serie fueron al cuadrado.

Resulta... no pasa nada!

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left({\sin{n}\over{n}}\right)}^2=\sum_{n=1}^{\infty}{\sin{n}\over{n}}={1\over2}(\pi-1)$.

Este es un lugar fresco resultado, y me preguntaba si hay alguna otra serie que comparten esta propiedad? O, de forma más generalizada, serie para la que elevar las condiciones para la alimentación de $m$ da el mismo resultado como elevar a la potencia de $p$.

Answer 1

Este largo comentario, no una respuesta.

Observe que una propiedad similar se mantiene en las relacionadas con la integral

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx = \int_{0}^{\infty}\bigg(\frac{\sin x}{x}\bigg)^2 dx = \frac{\pi}{2}. $$

Esto hace que me pregunte si la secuencia tiene que ver algo con la propiedad de ortogonalidad. Dos funciones de $f$ e $g$ se dice que son ortogonales con peso $1$ $$ \int_{0}^{\infty}f(x)g(x) = 0 $$

Si imponemos la condición de que $g(x) = 1 - f(x)$ , entonces estamos ante un caso especial de ortogonalidad donde $$ \int_{0}^{\infty}f(x)(1-f(x)) = 0 $$

que es análoga a la OP cuestión desde la $\sum_{n=k}^{\infty}{a_n}(1-a_n) = 0$

Answer 2

Esta es una manera de mirar estas secuencias. Como su punto de partida $k$ podría no ser $0$, estamos dentro de un subespacio lineal de $l^2$, el espacio de secuencias de $(a_0, a_1, \ldots)$ cuya suma $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2$ converge. Como también necesitamos la suma de $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ a converger, que nos coloca en el interior de un tamaño algo menor lineal subespacio $V$ de $l^2$.

Allí, estamos en busca de secuencias de $a = (a_0, a_1, \ldots)$ tal que $f(a) = 0$, donde $f(a) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n - \sum_{n=k}^{\infty} a_n^2$. Esta es una función suave en $V$, y su diferencial en $a$ en la dirección de $b$es $$ d_b f(a) = \sum_{n=k}^{\infty} b_n - 2 \sum_{n=k}^{\infty} a_n b_n. $$ Si $a$ es la de secuencia cero en $V$ (es decir, cualquier secuencia $a$ con $a_n = 0$ para $n \geq k$), a continuación, $df(a) = 0$. Si $a$ no es la de secuencia cero, entonces existe un $b$ tal que $d_bf(a) \not= 0$, tomemos, por ejemplo, $b = -\frac12 a$.

Por lo tanto $f$ es una función suave cuyo diferencial es no degenerado lejos de la lineal subespacio $N$ de $V$ definido por el cero secuencias en $V$, y degenerar en que el subespacio. Esto significa que el conjunto de $X = \{a \in V \mid f(a) = 0 \}$ de las secuencias que satisfacer su identidad es un infinito-dimensional hipersuperficie que es nonsingular fuera de $N$, y tiene singularidades en ese conjunto.

Gerry comentario muestra que también hay una suave función de proyección de $p : V \setminus N \to X \setminus N$, es decir, una función suave $p$ tal que $p(a) = a$ para cualquier secuencia $a \in X$.