Cuando es un cuasi-isomorfismo necesariamente un homotopy equivalencia?

Question

¿Bajo qué circunstancias es un cuasi-isomorfismo entre dos complejos necesariamente un homotopy equivalencia? Por ejemplo, esto es cierto para los complejos de la cadena sobre un campo (que son todos homotopy equivalente a su homología). También es cierto en un $\mathcal{A}_\infty$ configuración.

Es cierto para los complejos de la cadena de libre Abelian grupos? El caso que yo estoy particularmente interesado en los complejos de la cadena de libre $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[U]$ módulos libre o $\mathbb{Z}[U]$ módulos, pero yo también estoy interesado en las declaraciones generales.

Answer 1

Si tu complejos son acotados, esto siempre es cierto para cualquier anillo más general, la sustitución gratuita de los módulos con projectives. La declaración es que $\mathrm{D}^b(A\text{-}mod)$ es equivalente a $\mathrm{Ho}(Proj\text{-}A)$ y se puede encontrar en Weibel Capítulo 10.4. Si tu complejos son ilimitadas las cosas son más complicadas. Luego de su declaración es verdadera en más de cualquier anillo de finito homológica dimensión. Básicamente, usted tiene dos nociones K-proyectivas(que tienen la propiedad que usted desea) y de los complejos de projectives. Delimitada complejos de projectives son K-proyectiva, pero sin límites, no a menos que usted tiene la finitud hipótesis(véase Matías respuesta). Ver este post para la inyectiva versión de esta historia Pregunta sobre ilimitada de categorías derivadas de quasicoherent poleas. En los casos en los que usted está interesado en que no hay ningún problema.