Aplicaciones de la teoría de la medida de Lebesgue

Question

Estoy buscando ejemplos razonablemente sencillos de aplicaciones de la teoría de la medida de Lebesgue fuera del ámbito de la teoría de la medida. Doy un ejemplo.

Teorema: Dejemos que $X$ sea un submanifold diferenciable de $\mathbb{R}^n$ con codimensión $\geq 3$ . Entonces $\mathbb{R}^n\setminus X$ está simplemente conectada.

Prueba. Dejemos que $\alpha:S^1\to \mathbb{R}^n\setminus X$ sea un lugar cerrado $C^1$ curva. Queremos demostrar que existe un punto $p$ en el exterior $X$ s.t. una homotopía lineal entre $\alpha$ y $p$ se puede construir. Bien, define $F:\mathbb{R}\times S^1\times X\to \mathbb{R}^n $ por $$ F(t,s,x)= (1-t)\alpha(s)+tx. $$ Tenga en cuenta que, 1) $F$ recoge todas las líneas malas, es decir, las líneas que conectan $\alpha(s)$ y $x\in X$ . 2) $F$ est $C^1$ . 3) $\dim(\mathbb{R}\times S^1\times X)\leq n-1$ . Entonces, por el teorema de Sard, el conjunto $F(\mathbb{R} \times S^1\times X)$ tiene una medida de Lebesgue nula, y por tanto su complemento es no vacío. Esto implica fácilmente el resultado.

También como ejemplo tenemos la forma débil del Teorema de inmersión de Whitney para lo cual se puede utilizar el mismo tipo de argumento en la prueba.

Quiero conocer más aplicaciones "sencillas" del tipo de las mencionadas anteriormente, en áreas distintas a la teoría de la medida. Pero no demasiado complicadas.

Perdone si esta pregunta es demasiado básica.

Answer 1

Este fue el Problema del American Mathematical Monthly #11526, alrededor de 2010:

Propuesta. No hay ninguna función $f$ de $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^2$ con el propiedad que $|f(x)-f(y)| \ge |x-y|$ para todos $x,y \in \mathbb R^3$ .

Prueba . (Pase el ratón por encima...)

Tal $f$ sería inyectiva, y su inversa $f^{-1}$ sería un mapa suryectivo de Lipschitz desde un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^3$ . Pero los mapas de Lipschitz no aumentan la dimensión de Hausdorff, por lo que la imagen de $f^{-1}$ debe tener medida de Lebesgue cero, contradiciendo la subjetividad.

Answer 2

Me ha gustado el siguiente ejemplo.

Teorema: Sea R un rectángulo en el plano con lados paralelos a los ejes. Supongamos que R se corta en un número incontable de rectángulos más pequeños cuyos lados también son paralelos a los ejes, de manera que la longitud de al menos uno de los lados de los rectángulos más pequeños es un número entero. Entonces el rectángulo grande R también tiene la misma propiedad.

Prueba: Consideremos la medida compleja $d\mu =dxdye^{2\pi i (x+y)}$ en el avión. Las hipótesis implican que cada uno de los rectángulos más pequeños tiene $\mu$ medida cero. Al sumar, el gran rectángulo R también tiene $\mu$ medida cero.

Answer 3

Esta no es una respuesta directa, pero puede estar en el tema, dependiendo de la motivación de la pregunta.

Cuando enseño teoría de la medida, creo que debo a los alumnos una explicación de por qué tienen que aprender la integral de Lebesgue cuando ya conocen la integral de Riemann. ¿Cuál es la nueva aplicación para la que necesitan a Lebesgue? Tal vez me hagas esta pregunta porque te enfrentas a la misma dificultad.

Supongo que se pueden cocinar ejemplos de funciones que son Lebesgue pero no integrables de Riemann. Pero eso va a parecer artificioso. Lo que le digo a la clase es que es similar a preguntar "¿Por qué debo aprender sobre los números reales, si ya conozco los racionales?" Una respuesta es que puedes encontrar ejemplos de series infinitas que no tienen una suma en $\mathbb{Q}$ pero sí en $\mathbb{R}$ . Una forma más sofisticada de decir esto es que $\mathbb{R}$ es completo como espacio métrico, y esto conlleva tantas ventajas que obviamente merece la pena.

La gracia es entonces que el paso de Riemann a Lebesgue puede ser visto como una "finalización" de la misma manera que $\mathbb{R}$ es una terminación de $\mathbb{Q}$ . Si se define la distancia entre dos funciones en $[0,1]$ para ser $d(f,g) = \int_0^1 |f - g|\, dx$ entonces el conjunto de funciones integrables de Riemann no es completo. Al completarlo se obtiene el espacio de las funciones integrables de Lebesgue (módulo de funciones que desaparecen en un conjunto nulo, pero ese es un tema que se tratará más adelante).

Answer 4

1) Trucos de promediación de todo tipo, por ejemplo, toda el área de geometría integral . Para un ejemplo concreto y sencillo, véase Fórmula Crofton y sus consecuencias enumeradas en el artículo enlazado. Una versión de la fórmula se puede utilizar para demostrar que si una curva en la esfera no está contenida en ningún hemisferio, entonces su longitud es al menos $2\pi r$ Y también hay muchas aplicaciones más serias. Para responder a una posible objeción, incluso para curvas suaves el integrando no es ni continuo ni acotado; buena suerte para resolver la prueba con una versión más débil de la integral.

De espíritu similar es, por ejemplo, la obra de Weyl truco unitario .

2) La medida de Lebesgue proporciona una forma perezosa de construir una secuencia infinita de variables aleatorias escalares independientes con distribuciones prescritas, lo cual es (más o menos) importante para la Probabilidad. De hecho, los dígitos binarios en $[0,1]$ te dan una secuencia infinita de variables i. i. d. Bernoullis. Reordenándolas, se obtiene una secuencia infinita de secuencias infinitas independientes de i. i. d. Bernoullis, que es lo mismo que una secuencia infinita de variables aleatorias uniformes sobre $[0,1]$ . La postcomposición con funciones da distribuciones arbitrarias.

3) Una teoría de integración adecuada es esencial para la integridad y la dualidad en $L^p$ que, por supuesto, tienen toneladas de aplicaciones: para demostrar que alguna función existe, basta con construir un funcional correspondiente, o una secuencia de Cauchy. Véase esta respuesta para un ejemplo elemental, o el $L^2$ prueba de proyección de la existencia de la expectativa condicional en el libro de Williams.

Answer 5

No sé cuál es el protocolo cuando se da otra respuesta; esto no tiene nada que ver con mi ejemplo anterior. Las aplicaciones más espectaculares de la teoría de la medida que conozco provienen del trabajo de Margulis. Por ejemplo, supongamos $\Gamma \subset SL_3(\mathbb R)$ es un subgrupo discreto con cociente compacto. Entonces Margulis demuestra que todo subgrupo normal no trivial de $\Gamma $ tiene un índice finito en $\Gamma$ . La prueba utiliza la teoría de la medida (y muchas otras cosas) de forma seria. Su prueba de que tal $\Gamma$ es la aritmética también utiliza la teoría ergódica (y la teoría de la medida). Estas afirmaciones puramente "algebraicas" se demostraron mediante el uso de la teoría de la medida.