No hay tal función.
Supongamos $f: \mathbb R^m \rightarrow \mathbb R^n$ es una función inyectiva con $\Gamma_f$ cerrado en $\mathbb R^{m+n}$. Para cada una de las $i \in \mathbb N$, vamos a $K_i = f^{-1}([-i,i]^n)$.
Yo reclamo que cada una de las $K_i$ es cerrado y denso en ninguna parte en $\mathbb R^m$.
$K_i$ es cerrado, ya que es la proyección en $\mathbb R^m$ del conjunto de $\Gamma_f \cap (\mathbb R^m \times [-i,i]^n)$, que es cerrado en $\mathbb R^m \times [-i,i]^n$, y la proyección de un subespacio cerrado de $X \times Y$ a $X$ está siempre cerrado al $Y$ es compacto.
A ver que $K_i$ es denso en ninguna parte, supongamos $C$ es un subconjunto cerrado de $K_i$. Observe que $\Gamma_f \cap (C \times [-i,i]^n)$ es cerrado en $C \times [-i,i]^n$, y es la gráfica de la función $f \!\restriction\! C$. En particular, $f \!\restriction\! C$ es una función en un compacto Hausdorff espacio, y $\Gamma_{f \restriction C}$ es cerrado. Por el cerrado teorema de la gráfica (la que se alude en la pregunta), $f \!\restriction\! C$ es continua. Esto implica que $K_i$ es denso en ninguna parte; de otra manera (porque ya sabemos $K_i$ es cerrado) no es cerrado balón $C \subseteq K_i$, en cuyo caso $f \!\restriction\! C$ es una continua inyección de topológico, copia de $[0,1]^m$ a $[0,1]^n$. Como el OP ya se mencionó, esto es imposible. (Esto es debido a una continua inyección en $C$ sería una incrustación de objetos (debido a $C$ es compacto), y uno no se puede incrustar $[0,1]^m$ a $[0,1]^n$ al $m > n$.)
La Categoría de Baire Teorema de ahora nos proporciona una contradicción. Debido a que cada una de las $K_i$ es denso en ninguna parte, es imposible tener $\mathbb R^m = \bigcup_{i \in \mathbb N}K_i$. Por otro lado, $\mathbb R^m = \bigcup_{i \in \mathbb N}K_i$ está implícita en la definición de la $K_i$.
