Ya hay varias buenas respuestas. Sin embargo, el off-shell aspecto relacionado con el Teorema de Noether no ha sido abordado hasta el momento. (Las palabras en la cáscara y off-shell se refieren a si las ecuaciones de movimiento (e.o.m.) están satisfechos o no.) Permítanme reformular el problema como sigue.
Considere la posibilidad de una (no necesariamente aislado) Hamiltoniano del sistema con $N$ grados de libertad (d.o.f.). El espacio de fase ha $2N$ coordenadas, que denotamos $(z^1, \ldots, z^{2N})$.
(Vamos a tener nada que decir sobre el correspondiente problema de Lagrange.)
1) estructura Simpléctica. Generalmente, trabajamos en las coordenadas de Darboux $(q^1, \ldots, q^N; p_1, \ldots, p_N)$, con el simpléctica canónica potencial de un formulario
$$\vartheta=\sum_{i=1}^N p_i dq^i.$$
Sin embargo, resulta ser más eficiente en cálculos posteriores, si por el contrario nos desde el principio considere general coordina $(z^1, \ldots, z^{2N})$ y un general (definidos a nivel global) simpléctica potencial de un formulario
$$\vartheta=\sum_{I=1}^{2N} \vartheta_I(z;t) dz^I,$$
con los no-degenerado (=invertible) simpléctica de dos formas
$$\omega = \frac{1}{2}\sum_{I,J=1}^{2N} \omega_{IJ} \ dz^I \wedge dz^J = d\vartheta,\qquad\omega_{IJ} =\partial_{[I}\vartheta_{J]}=\partial_{I}\vartheta_{J}-\partial_{J}\vartheta_{I}. $$
La correspondiente corchete de Poisson es
$$\{f,g\} = \sum_{I,J=1}^{2N} (\partial_I f) \omega^{IJ} (\partial_J g), \qquad \sum_{J=1}^{2N} \omega_{IJ}\omega^{JK}= \delta_I^K. $$
2) la Acción. El Hamiltoniano de acción $S$ lee
$$ S[z]= \int dt\ L_H(z^1, \ldots, z^{2N};\dot{z}^1, \ldots, \dot{z}^{2N};t),$$
donde
$$ L_H(z;\dot{z};t)= \sum_{I=1}^{2N} \vartheta_I(z;t) \dot{z}^I- H(z;t) $$
es el Hamiltoniano de Lagrange. Por la variación infinitesimal
$$\delta S = \int dt\sum_{I=1}^{2N}\delta z^I \left( \sum_{J=1}^{2N}\omega_{IJ} \dot{z}^J-\partial_I H - \partial_0\vartheta_I\right)+ \int dt \frac{d}{dt}\sum_{I=1}^{2N}\vartheta_I \delta z^I, \qquad \partial_0 \equiv\frac{\partial }{\partial t},$$
de la acción $S$, nos encontramos con el Hamilton e.o.m.
$$ \dot{z}^I \approx \sum_{J=1}^{2N}\omega^{IJ}\left(\partial_J H + \partial_0\vartheta_J\right) = \{z^I,H\} + \sum_{J=1}^{2N}\omega^{IJ}\partial_0\vartheta_J. $$
(Vamos a usar el $\approx$ signo de estrés que una ecuación es una en la cáscara de la ecuación.)
3) las Constantes de movimiento. La solución
$$z^I = Z^I(a^1, \ldots, a^{2N};t)$$
para el primer fin de Hamilton e.o.m. depende de a $2N$ constantes de integración $(a^1, \ldots, a^{2N})$. Suponiendo adecuadas condiciones de regularidad, en principio, es posible invertir localmente esta relación tal que las constantes de integración
$$a^I=A^I(z^1, \ldots, z^{2N};t)$$
se expresan en términos de la $(z^1, \ldots, z^{2N})$ variables y el tiempo de $t$. Estas funciones $A^I$ $2N$ constantes de movimiento (c.o.m.), es decir, constante en el tiempo $\frac{dA^I}{dt}\approx0$. Cualquier función de $B(A^1, \ldots, A^{2N})$ de la $A$'s, pero sin el expreso dependencia del tiempo, volverá a ser un c.o.m. En particular, se pueden expresar los valores iniciales $(z^1_0, \ldots, z^{2N}_0)$ tiempo $t=0$ funciones
$$Z^J_0(z;t)=Z^J(A^1(z;t), \ldots, A^{2N}(z;t); t=0)$$
de la $A$'s, por lo que el $Z^J_0$ convertirse c.o.m.
Ahora, vamos a
$$b^I=B^I(z^1, \ldots, z^{2N};t)$$
ser $2N$ c independiente.o.m., lo que hemos argumentado anteriormente debe existir. La pregunta es si existe el $2N$ off-shell simetrías de la acción $S$, de tal manera que la correspondiente Noether corrientes en el shell c.o.m.?
Observación. Cabe destacar que en la cáscara de simetría es un vacuo concepto, porque si hacemos variar la acción $\delta S$ y aplicar correo.o.m., a continuación, $\delta S\approx 0$ se desvanece por definición (modulo límite de términos), independiente de lo que la variación $\delta$ se compone de. Por esta razón, a menudo sólo nos acortar off-shell simetría en la simetría. Por otro lado, cuando se habla de c.o.m., siempre asumimos que e.o.m.
4) Cambio de coordenadas. Ya que la acción $S$ es invariante bajo cambios de coordenadas, podemos simplemente cambiar las coordenadas de $z\to b = B(z;t)$ $2N$ c.o.m., y el uso de la $b$'s como coordenadas (a la que nos acaba de llamar a $z$ a partir de ahora). Entonces el correo.o.m. en estas coordenadas son sólo
$$\frac{dz^I}{dt}\approx0,$$
así llegamos a la conclusión de que en estas coordenadas, tenemos
$$ \partial_J H + \partial_0 \vartheta_J=0$$
como un off-shell ecuación. [Un inciso: Esto implica que el simpléctica matriz$\omega_{IJ}$, que no depende explícitamente del tiempo,
$$\partial_0\omega_{IJ} =\partial_0\partial_{[I}\vartheta_{J]}=\partial_{[I} \partial_0\vartheta_{J]}=-\partial_{[I}\partial_{J]} H=0.$$
Por lo tanto la distribución de Poisson matriz$\{z^I,z^J\}=\omega^{IJ}$, que no depende explícitamente del tiempo.
Por el Teorema de Darboux, podemos localmente encontrar las coordenadas de Darboux $(q^1, \ldots, q^N; p_1, \ldots, p_N)$, los cuales son también c.o.m.]
5) la Variación. Ahora podemos realizar una variación infinitesimal $\delta= \varepsilon\{z^{I_0}, \cdot \}$,
$$\delta z^J = \varepsilon\{z^{I_0}, z^J\}=\varepsilon \omega^{I_0 J},$$
con Hamiltonianos generador de $z^{I_0}$ donde $I_0\in\{1, \ldots, 2N\}$. Es sencillo comprobar que la variación infinitesimal $\delta= \varepsilon\{z^{I_0}, \cdot \}$ es un off-shell de simetría de la acción (modulo límite de términos)
$$\delta S = \varepsilon\int dt \frac{d f^0}{dt}, $$
donde
$$f^0 = z^{I_0}+ \sum_{J=1}^{2N}\omega^{I_0J}\vartheta_J.$$ El desnudo de Noether actual es
$$j^0 = \sum_{J=1}^{2N}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^J} \omega^{I_0 J}=\sum_{J=1}^{2N}\omega^{I_0J}\vartheta_J,$$
de modo que la plena Noether actual
$$ J^0=j^0-f^0=-z^{I_0} $$
se convierte en (menos) es el Hamiltoniano generador de $z^{I_0}$, que se conserva en la cáscara $\frac{dJ^0}{dt}\approx 0$, por definición.
Así que la respuesta es sí en el caso de Hamilton.
