cómo buscar y definir los vectores propios como una función continua de la matriz?

Question

Pedí este (con fondo) aquí https://stats.stackexchange.com/questions/38494/principal-component-analysis-bootstrap-and-probability-of-eigenvalue-collision

pero en realidad no obtener ninguna respuesta. A ver que post para el fondo.

Deje $D$ ser algún conjunto abierto en el plano, digamos. Realmente no es importante donde la $D$ se sienta, pero no debería ser sólo una línea/curva. Supongamos que hemos definido una función continua en $D$ $$ f \colon D \mapsto \text{Símbolo}^n $$ donde $\text{sym}^n$ es el conjunto de (real) simétrica $n \times n$ matrices. Cómo puedo definir los vectores propios de $f(x), x \in D$ como una función continua en $D$? ¿Cómo puedo calcular esto? Y ¿cómo puedo lidiar con autovalor colisiones? Un ejemplo sencillo aclarar este punto (y definido en una curva): Vamos a $$ f(t) =\left( \begin{matrix} 1+t & 0 \cr 0 & 1-t \end{de la matriz}\right) $$ A continuación, el mayor autovalor es $$ \lambda_1(t) = 1+ |t| $$ pero el autovector correspondiente al mayor valor propio, no puede ser definida como una función continua: $$ v_1(t) = \begin{cases} e_2 & t\le 0 \cr e_1 & t > 0 \end{casos} $$ Así que lo que quiero es mirar los dos autovalor funciones de $1+t, 1-t$ y siga los vectores propios correspondientes a cada uno de ellos, que obviamente se puede hacer en un continuo (constante!) manera.

AÑADIDO después de la respuesta de Anthony Quas:

Es posible dar algunas condiciones bajo las cuales es posible hallar una solución? La diferenciabilidad? O, si las matrices son realizaciones de algunos al azar campo de las matrices, es posible que algo se dijo acerca de la probabilidad de algunas selección continua es posible?

Answer 1

Por desgracia, puede empeorar de su ejemplo. No puede haber ninguna continuamente choosable vectores propios a todos.

He aquí un ejemplo: Considere la familia de matrices $$ g(t)=\begin{cases} \begin{pmatrix}1+t&0\cr 0&1-t\end{pmatrix}&\text{para $t<0$}; \cr \begin{pmatrix}1&t\cr t&1\end{pmatrix}&\text{para $t\ge 0$.} \end{casos} $$ Entonces los vectores propios se $\begin{pmatrix}1\cr 0\end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix}0\cr1\end{pmatrix}$ para $t<0$ e $\begin{pmatrix}1\cr1\end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix}1\cr-1\end{pmatrix}$ para $t>0$.

Obviamente no hay una selección continua posible.

Answer 2

Consulte el siguiente artículo, el cual contiene un resumen de los resultados:

Andreas Kriegl, Peter W. Michor, Armin Rainer: Denjoy-Carleman diferenciable perturbación de polinomios y sin límites de los operadores. Ecuaciones integrales y Operador de la Teoría de la 71,3 (2011), 407-416. (pdf)

En particular, si su asignación $f$ es Hölder continua (de clase $C^{0,\alpha}$ para$0<\alpha\le1$), entonces los valores propios pueden ser parametrizados en un $C^{0,\alpha}$ manera también.

EDITAR: describir los resultados que parecen más relevantes para tu pregunta:

Deje $t\mapsto A(t)$ para $t\in T$ tener parámetros de la familia de unbounded los operadores en un espacio de Hilbert $H$ con dominio común de definición y con compacto resolvent.

Si $t\in T=\mathbb R$ y todos los $A(t)$ son auto-adjunto a continuación, el siguiente se tiene:

(A) (Rellich) Si $A(t)$ es real analítica en $t\in \mathbb R$, luego los autovalores y los autovectores de $A(t)$ puede ser con parámetros reales analíticamente en $t$.

(B) Si $A(t)$ es quasianalytic de clase $C^Q$ en $t\in \mathbb R$, luego los autovalores y los autovectores de $A(t)$ puede ser parametrizadas $C^Q$ en $t$.

Si $t\in T=\mathbb R^n$ y todos los $A(t)$ son normales, a continuación, el siguiente se tiene:

(L) Si $A(t)$ es real analítica o de quasianalytic de clase $C^Q$ en $t\in \mathbb R^n$, luego para cada una de las $t_0\in \mathbb R^n$, y para cada autovalor $z_0$ de $A(t_0)$, existe una vecindad $D$ de % de $z_0$ en $\mathbb C$, un vecindario $W$ de % de $t_0$ en $\mathbb R^n$, y finita, cubriendo $\{\pi_k : U_k \to W\}$ de % de$W$, donde cada una de las $\pi_k$ es un compuesto de un número finito de asignaciones cada uno de los cuales es un local de blow-up a lo largo de un verdadero analítica o $C^Q$ submanifold o un local de alimentación de sustitución, tal que los valores propios de $A(\pi_k(s))$, $s \in U_k$, en $D$ y los correspondientes vectores propios puede ser parametrizado real analíticamente o $C^Q$ en $s$. Si $A$ es auto-adjunto, entonces no necesitamos el poder de las sustituciones.

(M) Si $A(t)$ es real analítica o de quasianalytic de clase $C^Q$ en $t\in \mathbb R^n$, luego para cada una de las $t_0\in \mathbb R^n$, y para cada autovalor $z_0$ de $A(t_0)$, existe una vecindad $D$ de % de $z_0$ en $\mathbb C$ y un vecindario $W$ de % de $t_0$ en $\mathbb R^n$ tal que los valores propios de $A(t)$, $t \in W$, en $D$ y los correspondientes vectores propios puede ser parámetros de las funciones de que son funciones especiales de variación acotada (SBV) en $t$.

Answer 3

El ejemplo dado por Anthony Quas revela un fenómeno discutido en Kato del libro Teoría de la Perturbación Lineal Operadores Diferenciales. El punto es el siguiente:

• Si la simetría de la matriz depende analíticamente sobre un parámetro, entonces usted puede seguir analíticamente sus autovalores y sus vectores propios. Aviso que esto requiere a veces que los autovalores de la cruz. Cuando esto sucede, los mayores valores propios, como el máximo de las funciones lisas, sólo es Lipschitz.
• Por el contrario, si la matriz depende de dos o más parámetros, los valores propios son en la mayoría de Lipschitz al cruzar sucede, y los vectores propios no puede ser elegido de forma continua. Un ejemplo típico es $$(s,t)\mapsto\begin{pmatrix} s & t \\\\ t & -s \end{pmatrix},$$ cuyos autovalores son $\pm\sqrt{s^2+t^2}$. Hacia el cambio, por $I_2$, Quas' ejemplo es sólo una trozos $C^1$ sección de este de dos parámetros ejemplo, y hereda su falta de selección continua de vectores propios.
• Del mismo modo, si analiticidad es reducido, $C^\infty$- por ejemplo Rellich muestra que los vectores propios no necesita ser funciones continuas de un solo parámetro. Por supuesto, Quas' ejemplo puede ser reestructurada como una $C^\infty$ uno, por flatening de la parametrisation en $t=0$, dicen que por la sustitución de $t$ por $s$ tal que $t={\rm sgn}(s)\cdot e^{-1/s^2}$.

Lado comentario: Kato el resultado es sólo local. Si el dominio no está simplemente conectado, podría suceder que un mundial, la selección continua de vectores propios no es posible. Este es un clásico en el ejemplo de arriba, si usted restringir el círculo unidad $s^2+t^2=1$; entonces los autovalores $\pm1$ mundial son funciones continuas, pero cuando después de un autovector, se experimenta una flip $v\mapsto -v$ como se hace una vuelta.

Answer 4

Creo que esto podría salvar la situación: Suponga que usted tiene una ruta de acceso parametrizada por $t$ y que es inmóvil por un rato el tiempo en que la multiplicidad de un autovalor aumenta. En el caso de $n=2$ los vectores propios son (generalmente) perpendicular así que podemos representar como cuatro puntos sobre el círculo unidad separados por $\frac{\pi}{2}$ radianes . Imagina el tiempo como un eje de modo que los vectores propios formulario de negro cuatro rutas de viaje de un cilindro. Cualquier momento de la matriz se convierte en un escalar múltiples de la matriz de identidad de repente la sólida unidad de círculo. Como esta es una banda de cierta anchura que usted puede hacer arreglos para salir de la banda en la configuración adecuada.

Con mayor $n$, e incluso más matrices generales creo que sería sobre el mismo. Así que un punto es que no puede ser una función de, simplemente, de donde eres, pero también dónde estaban y dónde será el próximo.

Un problema relacionado es constructivo versiones del Teorema Fundamental del Álgebra ( cribbed de un papel por Fred Richman que me recomiendan.) Deje $\mathbb{A} \subset \mathbb{C}$ a ser el campo de los números algebraicos (raíces de polinomios con coeficientes racionales) Considerar la posibilidad de grado $n+1$ monic polinomios $x^{n+1}+\sum_0^na_iz^i$ Que puede ser parametrizado por su coeficiente de vectores $\mathbf{a}=(a_0,a_1,\cdots,a_n) \in \mathbb{A}^n$ y por su "lista" de las raíces $\boldsymbol\alpha=(\alpha_0,\cdots,\alpha_n) \in \mathbb{A}^n$ ordenado de alguna manera. Es evidente que existe una continua mapa (uniformemente bicontinuous sobre conjuntos acotados) en una dirección $\boldsymbol\alpha \to \prod(z-\alpha_i)$ es decir, extraer los coeficientes de uso de primaria simétrica funciones. Hay una asignación continua en el otro? Lea el artículo (que se mete en Dedikind cortes, extensión a todos los de $\mathbb{C}$ y otros asuntos.) Como recuerdo, el objetivo correcto en el espacio de las raíces, en cambio, deben multisets de números algebraicos con un métricas adecuadas. Un ejemplo muy motivador es $z^2-b$ con $b$ real. Para $b$ cerca de $0$ tenemos un cambio repentino de las dos raíces que abarca una línea horizontal a una vertical.

Answer 5

(1) Si los autovalores de $f$ siempre tienen multiplicidad 1, entonces se puede hacer una selección continua de vectores propios. Decir $\lambda_j(z)$, con $j=1,2,\dots,n$, indican que los valores propios de $f(z)$ dispuestos en orden creciente. Para cada una de las $j$ elegir un continuo $\alpha_j(t,z)$, con $t\in \mathbb R$ e $z\in D$ tal que $$\alpha_j(\lambda_j(z),z)=1\mbox{ and }\alpha_j(\lambda_{i}(z),z)=0\mbox{ if }i\neq j.$$ Using functional calculus let us define $$p_j(z)=\alpha_j(f_j(z),z).$$ These are the rank one orthogonal projections onto the eigenspaces of $f(z)$. Since $D$ is an open subset of the plane, it only has trivial complex line bundles. So for each each $p_j(z)$ there exists a continuous section $v_j(z)\in \mathbb C^n$ such that $p_j(z)v_j(z)=v_j(z)$.

(2) El conjunto de funciones de $f$ con todos los autovalores de la multiplicidad 1 es denso (y $G_\delta$) entre los delimitada funciones continuas en $D$ con valores en la $n\times n$ selfadjoint matrices. Aquí es crucial que $D$ es en la mayoría de dimensión 2. Esto está demostrado en la "Densidad de la auto-adjuntos de los elementos finitos espectro en un irracional rotación de C∗-álgebra. De matemáticas. Scand. 67 (1990), 73-86.", por Choi y Elliott.

El meollo de su argumento es este: el conjunto de $n\times n$ auto-adjunto matrices tales que al menos dos autovalores de acuerdo es una unión finita de submanifolds de el conjunto de todos los auto-adjunto matrices, donde cada submanifold ha codimension al menos 3. Esto hace que un adecuado perturbación de $f$ puede evitar tales finito de la unión de submanifolds siempre que el dominio de $f$ tiene dimensión en la mayoría de los 2.