Subespacios reducidos de un espacio de Banach y convergencia débil

Question

Anteriormente hice una versión de esta pregunta en Math.SE pero no recibí respuesta. (¡Pero hay una recompensa si quieres reclamarla!)

Sea $X$ sea un espacio de Banach. (Si te sirve de ayuda, puedes suponer que $X$ es separable). En esta pregunta, "subespacio" significa un subespacio lineal de $X$ no necesariamente cerrado.

Q1. Supongamos que $E \subset X$ es un subespacio exiguo, de modo que podemos escribir $E = \bigcup_n E_n$ donde el $E_n$ no son densos en ninguna parte subconjuntos de $X$ . ¿Puede el $E_n$ considerarse subespacios de $X$ ? Es decir, ¿puede un subespacio poco denso escribirse siempre como una unión contable de subespacios poco densos?

Obsérvese que el enfoque trivial de sustituir cada $E_n$ con su tramo lineal no funciona, ya que el tramo lineal de un conjunto denso en ninguna parte no es necesariamente denso en ninguna parte (consideremos la esfera unidad).

Q1a . Si la respuesta a Q1 es afirmativa, ¿pueden los subespacios $E_n$ se considerará creciente, es decir $E_1 \subset E_2 \subset \cdots$ ? ¿Podemos escribir $E$ como un contable aumentando unión de subespacios densos de ninguna parte?

El enfoque trivial de sustituir $E_n$ por $E_1 + \dots + E_n$ no funciona, ya que la suma de dos subespacios densos en ninguna parte puede no ser densa en ninguna parte (por ejemplo, en $C([0,1])$ consideremos las funciones de media nula y las constantes).

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Esto surgió al reflexionar sobre la siguiente pregunta relacionada.

Q2. Digamos que un subespacio $E \subset X$ determina la convergencia débil si para cada secuencia $\{f_n\} \subset X^*$ tal que $f_n(x) \to 0$ para cada $x \in E$ tenemos $f_n(x) \to 0$ para cada $x \in X$ . ¿Es cierto que $E$ determina la convergencia débil-* si y sólo si $E$ ¿es nonmeager?

P2a. En caso negativo, ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que $E$ para determinar la convergencia débil-*?

Está claro que es necesario que $E$ ser denso. Un error de novato es suponer que la densidad también es suficiente, pero esto es falso y es fácil encontrar contraejemplos.

Por una versión del principio de acotación uniforme y la desigualdad del triángulo, cada subespacio no-meager determina la convergencia débil-* (ver más abajo un esquema). Se trata de una condición muy estricta, ya que, como se explica en esta pregunta un subespacio propio no gestor de $X$ carece de la propiedad de Baire y, por tanto, debe ser más bien patológico, no es un espacio que podamos encontrar en la vida cotidiana. A efectos prácticos, exigir que $E$ sea no meager es esencialmente tan fuerte como exigir que $E = X$ .

Me preguntaba si "nonmeager" es de hecho necesario.

Supongamos que podemos escribir $E = \bigcup_n E_n$ donde $E_n$ son subespacios densos crecientes en ninguna parte. Dado que $E_n$ no es denso en ninguna parte, no es denso, así que por Hahn-Banach podemos encontrar $f_n \in X^*$ con $f_n(E_n) = 0$ y $\|f_n\| = n$ . Entonces $f_n(x) \to 0$ para cada $x \in E$ pero $\{f_n\}$ no está acotada, por lo que, según el principio de acotación uniforme, existe $x \in X$ con $\{f_n(x)\}$ sin límites. Por lo tanto $E$ no determina la convergencia débil-*.

Por lo tanto, si Q1a tiene una respuesta afirmativa, también la tiene Q2.

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Nota al pie: He aquí un esbozo del argumento de que los subespacios no meager determinan la convergencia débil-*. Supongamos que $E$ es no gestor y $\{f_n\} \subset W^*$ con $f_n(x) \to 0$ para $x \in E$ . Sea $A_k = \bigcap_n \{x : |f_n(x)| \le K\}$ . $A_k$ es cerrado, y como $\{f_n(x)\}$ está acotado para $x \in E$ tenemos $E \subset \bigcup_k A_k$ . Por Baire, algunos $A_k$ tiene un interior no vacío, y un pequeño reordenamiento muestra que $M := \sup_n \|f_n\| < \infty$ como en el principio de acotación uniforme habitual. Ahora bien, como $E$ es no denso, debe ser denso, ya que los subespacios no densos no son densos en ninguna parte. Para cualquier $x \in X$ Fijar $\epsilon$ y elija $x' \in E$ con $\|x-x'\| < \epsilon$ . Entonces $|f_n(x)| \le |f_n(x')| + M \epsilon$ dejar $n \to \infty$ obtenemos $\limsup_n |f_n(x)| \le M \epsilon$ pero $\epsilon$ era arbitraria por lo que $f_n(x) \to 0$ .

Answer 1

Actualización : He aquí un contraejemplo ZFC (probablemente incluso ZF+DC) para Q1. Es de probabilidad y un poco indirecto, tal vez alguien será capaz de encontrar algo más corto.

Sea $X = C_0([0,1])$ el espacio de las funciones continuas $\omega$ en $[0,1]$ teniendo $\omega(0)=0$ . Fijar $0 < \alpha < 1/2$ y que $E = C^{0,\alpha}([0,1]) \cap X$ sea el subespacio de $\alpha$ -Funciones continuas de Hölder. Hay varias formas de ver que $E$ es escaso en $X$ . Por ejemplo, por Arzelà-Ascoli, las bolas de $E$ bajo la norma de Hölder son compactas en $X$ Por lo tanto $E$ es una unión contable de conjuntos compactos, cada uno de los cuales no es denso en ninguna parte de $X$ por el lema de Riesz. O, el argumento mencionado en la pregunta: $E$ es Banach en su propia norma, por lo tanto analítica en $X$ por lo que tiene la propiedad de Baire en $X$ Por lo tanto, debe ser escasa. (Esto no funciona porque $E$ no es separable en su propia norma, por lo tanto no es polaco).

Ahora dejemos que $\mu$ sea la medida de Wiener en $X$ . Es bien sabido que $\mu(E) = 1$ ya que el movimiento browniano es casi seguro $\alpha$ -Hölder continua para cualquier $\alpha < 1/2$ . Por otra parte, supongamos $F$ es cualquier subespacio denso de $X$ de modo que su cierre es un subespacio cerrado propio de $X$ . Por Hahn-Banach existe un funcional lineal continuo no nulo $f$ que desaparece en $F$ . Ahora $\mu$ es una medida gaussiana no degenerada sobre $X$ Así que $f$ tiene una distribución gaussiana unidimensional no degenerada bajo $\mu$ en particular, $\mu(F) \le \mu(\{f = 0\}) = 0$ . Por lo tanto todo subespacio denso en ninguna parte tiene medida cero, así que por aditividad contable, $E$ no puede ser una unión contable de tales.

Respuesta anterior . Es coherente con ZF+DC que la respuesta a Q1 sea No.

Consideremos un ejemplo en el que $E$ es separable Banach en una norma más fuerte $\|\cdot\|_E$ por ejemplo, $X = L^2([0,1])$ y $E = C([0,1])$ . Entonces $E$ es analítica en $X$ por lo tanto tiene la propiedad de Baire, por lo tanto debe ser exigua. Si $E$ puede escribirse como una unión contable de subespacios $E_n$ entonces por la categoría de Baire una de ellas debe ser no-meager con respecto a $\|\cdot\|_E$ por lo que no tiene el BP en $E$ . Pero Shelah demostró que es coherente con ZF+DC que todo subconjunto de un espacio polaco tenga el PB.

En nuestro ejemplo concreto podemos ver explícitamente que $C([0,1])$ es escaso en $L^2([0,1])$ las bolas sup-normales $B_n = \{f : \|f\|_\infty \le n\}$ se cierran en $L^2$ con el interior vacío.

No veo si esto nos ayuda con la Q2.

Answer 2

La respuesta a Q2 es No .

Agradezco a Damian Sobota que me haya llamado la atención sobre el siguiente artículo:

Darst, R. B. Sobre un teorema de Nikodym con aplicaciones a la convergencia débil y von Neuma Pacific J. Math. 23 (1967) 473-477. MR0238084

(Damian lo mencionó en la pregunta Convergencia de funcionales en proyecciones compactas sobre un espacio de Hilbert separable .)

El resultado de Darst es el siguiente (notación ligeramente ajustada):

Teorema. Supongamos que $\{\mu_n\}$ es una secuencia de medidas complejas acotadas y finitamente aditivas sobre un $\sigma$ -álgebra $\mathcal{B}$ de subconjuntos de un conjunto $\Omega$ tal que para cada $B \in \mathcal{B}$ tenemos $\sup_n |\mu_n(B)| < \infty$ . Entonces $\sup_n \sup_{B \in \mathcal{B}} |\mu_n(B)| < \infty$ .

Esto proporciona efectivamente un contraejemplo a Q2.

Para ser concretos, tomemos $\Omega = \mathbb{N}$ , $\mathcal{B} = 2^{\mathbb{N}}$ . Entonces, en la notación de esta pregunta, sea $X = \ell^\infty(\mathbb{N})$ . (Para simplificar trabajemos sobre $\mathbb{R}$ e identificar $X$ como el espacio de funciones acotadas de valor real sobre $\mathbb{N}$ .) Entonces $X^*$ puede identificarse como el conjunto de medidas con signo acotadas y finitamente aditivas sobre $\mathcal{B} = 2^{\mathbb{N}}$ donde el emparejamiento con $X$ es la integración, y la norma dual viene dada por la variación total.

Sea $E \subset X$ sea el espacio de las funciones simples (las de rango finito; equivalentemente, el tramo lineal de las funciones indicadoras). El teorema de Darst implica que $E$ determina la convergencia débil-*. Supongamos $\{\mu_n\} \subset X^*$ satisface $\int x\,d\mu_n \to 0$ para cada $x \in X$ . Tomando $x = 1_B$ para arbitraria $B \subset \mathbb{N}$ vemos que $\mu_n(B) \to 0$ y, en particular $\sup_n |\mu_n(B)| < \infty$ . El resultado de Darst implica entonces que $\sup_n \sup_{B \subset \mathbb{N}} |\mu_n(B)| < \infty$ lo que significa $\sup_n \|\mu_n\| < \infty$ (véase la reivindicación 1). Dado que $E$ es denso en $X$ se deduce por la desigualdad del triángulo (véase la última parte de la nota a pie de página de la pregunta) que $\mu_n \to 0$ débilmente-*.

(De hecho, si estoy leyendo correctamente el documento de Darst, en realidad muestra más: que $\mu_n \to 0$ débilmente, es decir, en la topología $\sigma(X^*, X^{**})$ .)

Por otro lado, $E$ es escaso en $X = \ell^\infty$ . Para verlo, basta con $E_k$ sea el conjunto de todos los $x \in \ell^\infty$ cuyo rango contenga como máximo $k$ números. Claramente $E_k$ tiene el interior vacío (cada bola contiene una función con rango infinito). Y $E_k$ es cerrado: supongamos $x_n \in E_k$ y $x_n \to x$ en $X$ (es decir, uniformemente). Si el intervalo de $x$ contiene $m$ números, $t_1, \dots, t_m$ podemos elegir $\varepsilon$ tan pequeñas que las bolas $B(t_i, \varepsilon)$ son disjuntos. Sin embargo, hay $n$ lo suficientemente grande como para que $\|x_n - x\| < \varepsilon$ lo que significa que cada uno de los $m$ deben contener un número comprendido entre $x_n$ . Por lo tanto $m \le k$ y tenemos $x \in E_k$ . Así que $E_k$ no es denso en ninguna parte, y $E = \bigcup_k E_k$ .

Así que $E$ es exigua, pero determina una convergencia débil-*.

Aún así me interesaría saber si existe un contraejemplo con $X$ separable.

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Prueba de la alegación 1. Supongamos que $\mu$ es una medida con signo finitamente aditiva y $\sup_{B \subset \mathbb{N}} |\mu(B)| = M$ . Sea $A_1, A_2, \dots, A_m$ sean finitamente muchos subconjuntos disjuntos de $\mathbb{N}$ . Ordena estos conjuntos de forma que $\mu(A_i) \ge 0$ para $1 \le i \le k$ y $\mu(A_i) < 0$ para $k+1 \le i \le m$ . Entonces $B_1 = A_1 \cup \dots \cup A_k$ y $B_2 = A_{k+1} \cup \dots \cup A_m$ . Entonces $$\begin{align*} \sum_{i=1}^m |\mu(A_i)| &= \sum_{i=1}^k \mu(A_i) - \sum_{i=k+1}^m \mu(A_i) \\ &= \mu(B_1) - \mu(B_2) \\ &= |\mu(B_1)| + |\mu(B_2)| \le 2M \end{align*}$$ Desde $\|\mu\|$ es la suma del lado izquierdo sobre todas las particiones finitas de $\mathbb{N}$ tenemos $\|\mu\| \le 2M$ .