Nota: he anexado algún material adicional que se extiende el análisis de, en efecto, la pre-imágenes de la pre-imágenes del punto fijo n/m=1 de la función de f, para mirar general pre-imágenes y pre-imágenes de otros puntos fijos (es decir, n/m=(m2−m+1)/m para m>1. El nuevo material sigue una negrita ", Agregó más tarde." Final de la nota
Las familias Karl Fabian encontrado puede ser subsumido bajo una sola regla:
f(2)(a/b)=1 si y sólo si ab=n+dn+d′ donde
n>0,
dd′=n(n−1), e (n+d,n+d′)=1.
No es difícil mostrar que si a/b tiene la forma dada, a continuación,f(a/b)=n, y es fácil demostrar que los f(n)=f(n/1)=1. (La suposición de que n+d e n+d′ son relativamente primos es crucial.) La parte difícil es muestra de que nada más llega a 1 en dos pasos.
Es claro que f(a/b)=1 si y sólo si a+b−1=ab, que puede ser reescrita como (a−1)(b−1)=0, por lo que los únicos números que llegan a 1 en un solo paso son enteros n y sus recíprocos 1/n. También es claro que f(a/b)≥1 para todos los a/b. Por lo tanto, los números que llegan a 1 en dos pasos son aquellos que llegan a un número entero n en un solo paso. Vamos a ver cómo eso puede suceder.
Si ab/(a+b−1)=n, entonces tenemos que tener en ab=nk e a+b−1=k para algunos entero k. Escrito b=nk/a, acabamos con a2−(k+1)a+nk=0, por lo que
a=k+1±√(k+1)2−4nk2.
Para a a ser un número entero, debemos tener una plaza dentro de la raíz cuadrada:
(k+1)2−4nk=m2,
la cual puede escribirse como
(k+1−2n)2−m2=4n(n−1),
o
(k+1−2n+m)(k+1−2n−m)=4n(n−1).
Los dos términos en el lado izquierdo tiene la misma paridad (se diferencian por 2m), por lo tanto ambas deben ser parejos, es decir, k+1−2n+m=2d e k+1−2n−m=2d′ donde dd′=n(n−1). De esto podemos obtener k+1−2n=d+d′ e m=d−d′, por lo que
a=2c+d+d′±(d−d′)2.
Elegir el signo positivo da a=n+d. (Eligiendo el signo negativo da b=n+d′. Si te gusta, puede suponer a≥b e d≥d′.)
Para hacer sólo un ejemplo, vamos a n=16. Las opciones para dd′ son 240⋅1, 80⋅3, 48⋅5, y 16⋅15, lo que en los cuatro posibilidades para que las a/b (con a>b) para que f(a/b)=16:
ab=25617,9619,6421,3231.
Nota cómo la factorización como dd′=6⋅40 falla:
f((16+6)/(16+40))=f(22/56)=f(11/28)=11⋅2838=15419.
Añadido posterior: Si lo he hecho todo correctamente, un análisis similar se da la siguiente buen resultado sobre pre-imágenes:
Deje n/m ser una fracción con n≥m y
(n,m)=1. A continuación, f(a/b)=n/m si y
sólo si
ab=n+dn+d′
donde dd′=n(n−m) e (n+d,n+d′)=m.
Vamos a ver cómo esto se aplica a los otros puntos fijos para f, es decir, cuando se n=m2−m+1, para los primeros valores de m.
Saltarse el caso de m=1 (que se puede consultar da el resultado se señaló anteriormente), vamos a n/m=3/2, por lo que necesitamos dd′=3 e (3+d,3+d′)=2. Los únicos factores son 3 e 1, lo que, de hecho, satisfacer (6,4)=2, pero esto sólo da a/b=6/4=3/2. En otras palabras, el punto fijo, 3/2 no tiene pre-imagen distinto de sí mismo.
Para n/m=7/3, tenemos n(n−m)=28, por lo que la posible factorizations son 28⋅1, 14⋅2, y 7⋅4. Pero sólo uno de estos para que (7+d,7+d′)=3 es 14⋅2, lo que da a/b=21/9=7/3, lo 7/3 también no tiene pre-imagen distinto de sí mismo.
Se puede comprobar que lo mismo sucede con n/m=13/4: La única factorización dd′ de % de 13(13−4) para que (13+d,13+d′)=4 es 39⋅3, dando a/b=52/16=13/4.
Pero n/m=21/5, por último, es interesante: Hay dos factorizations que el trabajo, es decir, 84⋅4 e 24⋅14. La primera, como antes, le da el punto fijo de nuevo, a/b=(21+84)/(21+4)=105/25=21/5. But the other one gives a/b=(21+24)/(21+14)=45/35=9/7. Note, however, that 9/7 has no pre-image: The factorizations of 9(9−7)=18 are 18⋅1, 9⋅2, and 6⋅3, none of which produce anything divisible by 7, much less a pair (9+d,9+d′) with 7 como un divisor común.
En resumen (por ahora), la única fracción con un número infinito de pre-imágenes es n/m=1 (desde n(n−m)=0 tiene infinitamente muchos divisor pares!); el tamaño de la pre-imagen de conjunto para todas las otras fracciones que está limitada por el número de divisor pares de n(n−m). Para algunos de los puntos fijos de f, la pre-imagen de conjunto es sólo el punto fijo de sí mismo, mientras que para otros (por ejemplo,n/m=21/5), la pre-conjunto de imágenes contiene los puntos adicionales. Puede haber algo de criterio simple que identifica los puntos fijos que no tengan adicionales de pre-imágenes, pero yo no improviso ver uno, posiblemente porque no he pensado nunca dura lo suficiente (pero tal vez porque estoy ciego a lo obvio).