¿Cuándo la evolución temporal de un sistema hamiltoniano está descrita por el flujo geodésico en una variedad riemanniana?

Question

Esta es mi pregunta concreta. Dejemos que $M, \omega$ sea una variedad simpléctica y que $H: M \to \mathbb{R}$ sea cualquier función suave. La forma simpléctica da lugar a un isomorfismo entre el haz tangente y el haz cotangente de $M$ y de esta manera podemos asociar a la forma 1 $dH$ un campo vectorial $X_H$ que se caracteriza por la propiedad de que $\omega(X_H, Y) = Y(H)$ para cualquier campo vectorial $Y$ . El grupo de difeomorfismos de un parámetro asociado a $X_H$ es el "flujo hamiltoniano" asociado a $H$ .

Un caso especial interesante de esta construcción lo proporciona la geometría de Riemann. Para cualquier colector $M$ existe una estructura simpléctica canónica en $T^*M$ (considerado como un colector en sí mismo) definido de la siguiente manera. Dado un vector tangente $X \in T(T^*M)$ sentado sobre un covector $p \in T^*M$ , defina $\eta_p(X) = p(d\pi_p(X))$ donde $\pi: T^*M \to M$ es la proyección natural del haz. Entonces $\eta$ es una forma 1 en $T^*M$ y se comprueba que $d\eta$ es una forma simpléctica. Si $M$ está dotado de una métrica riemanniana $g$ entonces la métrica produce un isomorfismo entre $TM$ y $T^*M$ y la construcción del párrafo anterior produce un flujo hamiltoniano asociado a cualquier función suave sobre $TM$ . Si consideramos la función suave $H: TM \to \mathbb{R}$ dado por $H(V) = g(V, V)$ entonces es un hecho que el flujo Hamiltonial resultante $F_t$ es precisamente el flujo geodésico para $M$ . En otras palabras, dado un vector tangente $W \in T_p M$ , $F_t(W)$ es el vector de velocidad en el momento $t$ de la única geodésica $\gamma$ con $\gamma(0) = p$ , $\gamma'(0) = W$ .

Así que me pregunto si hay invariantes interesantes - dinámicas, geométricas, topológicas o de otro tipo - que ayuden a determinar si un sistema hamiltoniano dado es o no secretamente el flujo geodésico en alguna variedad riemanniana. Se trata de una pregunta un tanto extraña desde el punto de vista geométrico, porque esencialmente se pregunta si dada una función suave $H: M \to \mathbb{R}$ en una variedad simpléctica existe un submanifold $N$ de $M$ tal que existe un difeomorfismo $M \to TN$ que lleva $H$ a una forma cuadrática definida positiva en cada fibra. Pero dinámicamente se reduce a una pregunta bastante natural: ¿cómo se pueden caracterizar los flujos geodésicos entre todos los sistemas dinámicos hamiltonianos?

Si esta pregunta tiene algún tipo de respuesta razonable, se me ocurren media docena de preguntas complementarias. ¿Existe una noción natural de equivalencia hasta la cual $N$ es único? ¿En qué medida $H$ restringen la geometría y la topología de $N$ ? Si un grupo de Lie actúa sobre el par $M, H$ podemos elegir $N$ que es invariante bajo la acción del grupo? Por ejemplo, una idea en esta línea que viene a la mente inmediatamente es la afirmación de que si el flujo hamiltoniano para $H$ no es ergódica respecto a una medida invariante suave prescrita, entonces $N$ no puede tener una curvatura no positiva. Si tiene una respuesta a esta pregunta y puede elaborar la relación entre $H$ y la geometría de $N$ Por favor, hágalo.

Answer 1

Mi lectura de la pregunta es la siguiente: se nos da $H\in C^\infty(M)$ con $M$ simpléctica, y queremos saber si hay un submanifold $L\subset M$ una métrica riemanniana $g$ en $L$ y un simplectomorfismo $T^\ast L \cong M$ bajo el cual $H$ se remonta a la función norma-cuadrado. Y queremos saber si $(L,g)$ es único.

La singularidad es fácil: recuperamos $L$ como $H^{-1}(0)$ y $g$ como la forma hessiana de $H$ en el haz tangente vertical (determinado por el simplectomorfismo) a lo largo de $L$ .

Condiciones básicas necesarias:

(1) $L:=H^{-1}(0)$ es un submanifold lagrangiano de $M$ .

(2) $L$ es una colector crítico no degenerado de $H$ de índice Morse normal 0.

Estas condiciones implican que una vecindad de $L$ se incrusta simbólicamente en $T^\ast L$ y también (por el lema de Morse-Bott) que $H$ es cuadrática en coordenadas adecuadas cerca de $L$ . Estos dos conjuntos de coordenadas no tienen por qué ser compatibles, así que sustituyamos (2) por algo mucho más fuerte (pero todavía intrínseco):

(3) Hay un campo vectorial completo, conformemente simpléctico $X$ (es decir, $\mathcal{L}_X\omega=\omega$ ), cuyo conjunto cero es exactamente $L$ a lo largo de la cual $H$ aumenta de forma cuadrática (es decir, $dH(X)=2H$ ).

Afirmo que (1) y (3) son suficientes. Con estos datos, se puede localizar un punto $x\in M$ en $T^\ast L$ . Flujo $X$ hacia atrás en el tiempo a partir de $x$ para obtener la proyección a $L$ ; preste atención a la dirección de aproximación a $L$ para obtener un rayo tangente, y utilizar la métrica (es decir, el hessiano de $H$ en las fibras de proyección a $L$ ) para convertirlo en un rayo cotangente. Elige un vector cotangente en esta semirrecta examinando $H(x)$ . Si no me equivoco, esto permitirá obtener un simplectomorfismo con las propiedades deseadas.

Answer 2

Deseo añadir un $\epsilon$ a la respuesta anterior. Supongamos que su colector simpléctico es $T^*M$ , donde $M$ es una variedad cerrada, y consideramos un llamado ``Hamiltoniano de Tonelli'' $H:T^*M\rightarrow\mathbb R$ que es simplemente una función que es convexa (diferenciable) y superlineal. Entonces consideremos el valor $$ c(H)=\min_{u\in C^\infty(M;\mathbb R)} \max_{q\in M} H(q,du_q). $$

Este número especial en la literatura se llama ``Valor crítico de Mañé''. Ahora, si se fija un valor de energía $h > C(H)$ se puede construir fácilmente un nuevo hamiltoniano $G$ tal que

1) $H^{-1}(h)=G^{-1}(h')$ para algunos $h'\in\mathbb R$

2) $G(q,\lambda p)=\lambda^2 G(q,p)$ para cada $\lambda>0$

3) $G$ es convexo a nivel de fibra

Ahora, el dual de Legendre del Hamiltoniano $G$ será una métrica de Finsler (no riemanniana en general).

Lo interesante aquí es que el valor crítico $c(H)$ puede definirse de muchas otras formas equivalentes (en términos de acción lagrangiana de bucles cerrados, en términos de minimización de medidas invariantes, etc.). Puedes encontrar más información sobre esto en el libro de Contreras e Iturriaga: http://www.cimat.mx/~gonzalo/libro/lagrangios.pdf

Answer 3

Esta es una respuesta un poco estúpida, pero es la prueba más sencilla y útil que conozco. ¿Su campo vectorial hamiltoniano tiene un cero? Si `sí': ¡lo siento, no es un flujo geodésico!

(Aunque podría ser la reducción de un flujo geodésico).

Answer 4

He aquí una respuesta (parcial) a su pregunta para los llamados sistemas hamiltonianos naturales. Estos últimos se definen como sigue. Sea $(M,g)$ sea una (pseudo)-múltiple de Riemann, $q^i$ sean coordenadas locales en $M$ y $(q^i, p_i)$ sean las coordenadas adaptadas en $T^*M$ que es una variedad simpléctica con una estructura simpléctica canónica como se describe en la pregunta. En estas coordenadas el Hamiltoniano natural es uno de la forma $$ H=\frac12 \sum\limits_{i,j=1}^n g^{ij}(q^1,\dots,q^n) p_i p_j + V(q^1,\dots,q^n), $$ donde $n=\dim M$ . Utilizando el Transformación de Legendre podemos pasar a un lagrangiano equivalente $$ L=\frac12 \sum\limits_{i,j=1}^n g_{ij}(q^1,\dots,q^n) \displaystyle \frac{dq^i}{dt} \frac{dq^j}{dt}-V(q^1,\dots,q^n). $$

Para tales Lagrangianos la respuesta a su pregunta es afirmativa si nos restringimos al movimiento con una energía fija $E$ es decir, en una hipersuperficie $H=E$ . Las soluciones respectivas de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a $L$ de hecho, puede verse (véase, por ejemplo, el documento Geometría de los espacios con la métrica de Jacobi de Szydlowski, Heller y Sasin y las referencias en ellas para más detalles) como geodésicas de la llamada métrica de Jacobi $$ \tilde g_{ij}=(E-V)g_{ij} $$ que surge de la Principio de Maupertuis .

Nótese que aquí se considera que las curvas son las soluciones de las ecuaciones de Euler--Lagrange y las geodésicas de $\tilde g$ como submanifolds unidimensionales (a grandes rasgos) en $M$ ignorando su parametrización. La métrica $\tilde g$ obviamente desaparece en los puntos donde $E=V$ por lo que, de hecho, es una métrica degenerada; véase, por ejemplo, el artículo citado de Szydlowski et al. para más detalles.

Answer 5

Está el papel ¿SON LOS FLUJOS HAMILTONIANOS FLUJOS GEODÉSICOS?

de CHRISTOPHER MCCORD, KENNETH R. MEYER, Y DANIEL OFFIN que trata este problema y da ejemplos de flujos hamiltonianos (la mayoría de los casos del planar $N$ -de cuerpos, por ejemplo) que no pueden ser vistos como flujos geodésicos.