Considere la posibilidad de una divergente la serie que tiende a infinito como $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$. El límite de esta serie es ilimitado, y muchas veces he visto a gente decir que la suma 'es igual a infinito' como una abreviación de este. Sin embargo, es aceptable para escribir $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots = \infty$ formal de las matemáticas, o es mejor que indican que el límite es igual a infinito? Si es así, ¿cómo se hace esto?
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Milo Brandt
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Sí - es muy común y totalmente correctas para hacerlo. Hay un poco de formal engaño aquí porque $\infty$ no es un número, pero se puede hacer el análisis con él de todos modos - el sentido de los límites y ese tipo de cosas. En particular, existe un juego llamado el affinely extendido reales que básicamente es el número real $\mathbb R$ junto con dos nuevos objetos de $\infty$ e $-\infty$, uno en cada una de las 'finales'. Este es un espacio topológico, lo que significa que usted puede tomar límites, pero tenga cuidado de que algunas cosas como la $∞-∞$, $0·∞$, $0/0$ e $∞/∞$ son indefinidos.
Consideran que, para los números reales $x$, la definición de una secuencia $s_n$ convergentes a $x$ es de la siguiente manera:
Para cualquier $\varepsilon >0$, existe alguna $N$ que si $n>N$ entonces $|s_n-x|<\varepsilon$.
Esto puede ser reescrita como diciendo:
Para cualquier intervalo abierto $I$ contiene $x$, existe alguna $N$ tal que para todos los $n > N$ tenemos $s_n\in I$.
La idea detrás de cualquiera de estas definición es que si elegimos algunos "barrio" de $x$ - que consta de $x$ y, al menos, algunos positivos de radio alrededor de $x$ - la secuencia, finalmente, se ve limitada en el barrio. Más formalmente, un barrio de un número real es cualquier conjunto $S$ que contiene un intervalo abierto alrededor de $x$. A continuación, puede definir la convergencia a $x$ como sigue:
Para cualquier vecindad $I$ de $x$, existe alguna $N$ tal que para todos los $n >N $ tenemos $s_n\in I$.
Para definir los límites de a $\infty$ e $-\infty$, uno sólo tiene que definir sus barrios. En particular, $\infty$ está destinado a ser el "extremo superior" de la línea real - y estar cerca de $\infty$ significa que un número es muy grande. Así que uno define un barrio de $\infty$ ser cualquier conjunto $I$ que contiene un intervalo de la forma $(C,\infty]$ para algunos $C\in\mathbb R$. Entonces, decimos
$\lim_{n\rightarrow\infty} s_n = \infty$ si para cada vecindario $I$ de $\infty$, existe alguna $N$ que si $n>N$ entonces $s_n\in I$.
Esto es equivalente a decir que $s_n$ converge a $\infty$ si, para cada $C$, existe un $N$ que si $n>N$ entonces $s_n > C$ - que es la definición habitual encontrar en los libros de texto (pero tenga en cuenta que es en realidad un teorema - una consecuencia de la definición de $\infty$!) - y que, en cualquier contexto que puede permitir una instrucción como $\lim_{n\rightarrow\infty}s_n = \infty$, así podría estar trabajando en la ampliación de reales.
Entonces, desde el infinito sumas son sólo los límites de las sumas parciales, es perfectamente riguroso para escribir $$\sum_{n\rightarrow\infty}\frac{1}n = \infty$$ y saber que esto realmente significa que el lado izquierdo se evalúa a $\infty$, que no piense que esto es una declaración especial en la que la igualdad no es la igualdad. Esta es una realidad muy común en el análisis real (la rama de las matemáticas que tratan con límites, continuidad, la diferenciabilidad, y todas esas cosas) - especialmente en campos como la teoría de la medida y, a veces, en la teoría de espacios métricos así.
Sin embargo, también es importante saber que muchas personas no comparten la opinión de que $\infty$ siempre es perfectamente válido objeto, definido por sus barrios. Así que, a pesar de ser técnicamente correcta de escribir dicha igualdad, se puede no ir bien con tu audiencia, no obstante - y usted debe mantener su audiencia en mente cuando escribió nada, porque "formal de la corrección" no hay sustituto para "entendidos por el público" - y que a menudo encuentro ejemplos de cosas que son técnicamente correcta, pero podría confundir o molestar a su audiencia, no obstante.
(Nota al margen: El límite de $n\rightarrow\infty$ en el subíndice $\lim_{n\rightarrow\infty}s_n$, como se puede notar, es también definido por los barrios: podemos restringir $s_n$ , obligando $n$ a mentir en algún barrio de $\infty$ que nos da a elegir - que es lo que pasa cuando nos dicen que hay algo de $N$ así que si $n>N$, bla, bla, bla)
Arnaud Mortier
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La única cosa que usted puede escribir correctamente es que el límite es igual a infinito.
Ser conscientes de que esto no es nada sino un acceso directo para la oración más larga $\forall M\in \Bbb R,\exists n\in \Bbb N, $ etc. Esto no significa que hay un límite, que es un número y que este número es $\infty$.
Alya
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2106
Deje $\{s_n\}$ ser una secuencia de números reales con la siguiente propiedad:
Para cada una de las $M$ no es un número entero $N$ tal que $n\geq N$ implica $s_n\geq M$.
Escribimos $\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=\infty. $ Esta expresión tiene una definición clara como la anterior. A veces nos escribe $+\infty$ en lugar de $\infty$.
En tu ejemplo, por la definición anterior, uno escribe $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\infty. $
En el análisis real, muy a menudo uno trabaja con el extendido de los números reales, especialmente en la teoría de la medida e integración. Uno puede interpretar el símbolo $\infty$ como número real y la expresión de $\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=\infty$ puede ser entendida como el proceso de convergencia en $\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ con el fin de topología. También se puede trabajar con el extendido no negativo eje real $[0,+\infty]$ con el extendido de la topología. Véase, por ejemplo, este conjunto de notas.
Por otra parte, se observa que la función $n \mapsto x_n$ de la extendida números naturales ${\Bbb N} \cup \{\infty\}$ (con el fin de topología) en un espacio topológico $X$ es continua si y sólo si $x_n \to x_{\infty}$ como $n \to \infty$, por lo que uno puede interpretar la convergencia de las secuencias como un caso especial de la continuidad.
"El límite de esta serie es ilimitado"
Notas: "delimitada/sin límites" es un concepto para algún subconjunto de los números reales. Uno puede decir que "algunos secuencia de los números reales es ilimitado", o "cierto subconjunto de los números reales es ilimitado". No tiene sentido decir que el límite de [las sumas parciales de la serie es "ilimitada". En su caso particular, se podría decir que el límite de [las sumas parciales de la serie "no es un número real" o "no es finito".
Una declaración de un alto el maestro de escuela: no use $=\infty$ en cualquier curso de la escuela. La idea de infinito ya provoca una gran confusión entre los escolares (así como la fascinación), y nuestra mejor aproximación, es decir con firmeza que " el Infinito no es un número, sino una idea, y la notación $\infty$ se utiliza como abreviación en un par de piezas estándar de notación.'
Sí, sé que todo lo que en matemáticas es una idea, y que cada marca en la página es la notación, pero deje que la universidad clases de filosofía. Lo que no queremos es que las monstruosidades tales como $\infty - \infty = 0$ e $\infty / \infty = 1$, que la escuela-niños habitualmente llega si nos dan siquiera un indicio de que el infinito es un número.
(No me se el uso de $=\infty$ en cursos de pregrado, tampoco. Sin un riguroso axiomático comprensión de las matemáticas, además de algunos geometría proyectiva, es mal entendida y mal.)
gimusi
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1255
Es ampliamente aceptado para divergentes de la serie que tiende a infinito la siguiente notación
$$\sum_{n=1}^\infty \frac1n =\infty$$
en lugar de la versión extendida generalmente se introdujo en primer lugar, por la formal y rigurosa definición
$$\lim_{N\to \infty }\sum_{n=1}^N \frac1n =\infty,\quad\sum_{n=1}^N \frac1n \to \infty \iff \forall M\in \mathbb R \quad\exists N_0\in \mathbb N \quad\forall N\ge N_0 \quad \sum_{n=1}^N \frac1n>M$$
