Importancia de la recurrencia de Poincaré teorema? Cualquier ejemplo?

Question

Recientemente estoy aprendiendo ergodic la teoría y la lectura de varios libros sobre el tema.

Generalmente la recurrencia de Poincaré es el teorema de afirmado y probado antes de ergodicity y ergodic teoremas. Pero ergodic teorema de no confiar en el resultado de la recurrencia de Poincaré teorema. Así que me estoy preguntando por qué los autores siempre mencionar la recurrencia de Poincaré teorema justo antes de ergodic teoremas.

Quiero ver algunos ejemplos que ilustran la importancia de la recurrencia de Poincaré teorema. Cualquier buen ejemplo puede ser sugerido a mí?

Los libros que estoy leyendo: Silva, de la Invitación a ergodic theory. Walters, Introducción a la ergodic theory. Parry, de los Temas de ergodic theory.

Answer 1

Parte de la importancia de la recurrencia de Poincaré es el teorema de las preguntas de seguimiento, se legitima. Sabiendo que para cualquier conjunto $A$ de las medidas positivas que podemos encontrar un positivo $n$ tal que $\mu(A \cap T^{-n} A) > 0$, uno podría preguntarse si

• podemos optar $n$ a partir de algunos de los "niza" conjunto;
• es posible observar "varios" de la recurrencia;
• hay "muchos" $n$ para que el resultado se mantiene.

Un ejemplo de "bonito", es "un cuadrado": uno siempre puede encontrar un positivo $n$ tal que $\mu(A \cap T^{-n^2}A) > 0$. Véase, por ejemplo, el teorema 2.1 en la parte 6 de estas notas.

Un ejemplo de "múltiples", es que uno siempre puede encontrar enteros positivos $m$ e $n$ tal que $\mu(A \cap T^{-n}A \cap T^{-m}A \cap T^{-(m+n)}A) > 0$. Para probar esto, recorrer la recurrencia de Poincaré teorema. Una mayor participación del ejemplo de "varios" se da por exigir que $m = n$ en la expresión anterior.

Por último, un ejemplo de "muchos" se da por "syndetic": se sigue de Khintchine la recurrencia teorema (teorema 3.3 en Petersen "Ergodic Theory") que el conjunto de $n$ se ha acotado las lagunas.

Answer 2

Si el número-en teoría, inclinado, puede que desee echar un vistazo a Harry Furstenberg, la recurrencia de Poincaré y de la teoría de números, Boletín de la Sociedad Matemática Americana 5 (1981) 211-234, que parece estar disponibles libremente en la web. Entre otras cosas, Furstenberg utiliza la recurrencia de Poincaré para demostrar van der Waerden del Teorema sobre progresiones aritméticas: dado cualquier partición de los números enteros en un número finito de subconjuntos de, al menos, uno de los subconjuntos contiene arbitrariamente larga aritméticas progresiones.

Answer 3

Esto puede no ser una muy dinámico de la aplicación, pero sigue siendo muy interesante. La recurrencia de Poincaré teorema fue utilizado en este trabajo

http://arxiv.org/pdf/math/0606232

para mostrar que cada susceptibles a la izquierda-disponible grupo localmente indicable.

Answer 4

Una aplicación interesante de la recurrencia de Poincaré es el teorema proporcionada por Masur-Veech teorema en el único ergodicity de casi cada intervalo de cambio de los mapas. De hecho, muy a grandes rasgos, una prueba de este resultado es similar a esto. Hay una natural renormalization dinámica de intervalo de cambio de los mapas conocidos como Rauzy-Veech de inducción. Por la construcción de un adecuado invariante finita la masa de la medida (a veces llamado Masur-Veech medida), se deduce a partir de la recurrencia de Poincaré teorema que casi cada intervalo de cambio de mapa es recurrente con respecto a la Rauzy-Veech de inducción y esta información puede ser demostrado que implica único ergodicity.

Para más detalles, consulte esta encuesta de J.-C. Yoccoz.

Answer 5

La recurrencia de Poincaré teorema es útil a veces, debido a la forma en que se traduce en la recurrencia en espacios métricos. Por ejemplo, un corolario del teorema de Poincaré es que para que una medida de preservación de la transformación de un espacio métrico separable - que no tiene que ser continua en casi todo punto es recurrente en el sentido topológico. Para ver esto, elegir una secuencia que es denso en el espacio métrico, y considerar la posibilidad de la cubierta de la métrica del espacio por las bolas de radio $1/n$ alrededor de los puntos en esta secuencia. Por el teorema de Poincaré casi todos los puntos que pertenecen a una de estas bolas devuelve a la pelota infinitamente a menudo, y por lo tanto vuelve a dentro de la distancia $2/n$ de la misma. Ahora tome la intersección sobre $n$ a ver que casi todos los puntos es recurrente.

Una más general corolario que a veces también es útil es la siguiente: si $T \colon X \to X$ es la medida de preservación, y $f$ es una función medible de $X$ a de un espacio métrico separable, entonces $\liminf_{n \to \infty} d(f(T^nx),f(x))=0$ en casi todas partes. Este resultado, naturalmente, puede ser muy útil en circunstancias en las que uno sabe que una función es medible, pero no más. Un ejemplo que viene a la mente es la prueba del Teorema 15 en "Una fórmula con algunas aplicaciones a la teoría de los exponentes de Lyapunov" por Ávila y Bochi, donde el teorema de Poincaré se aplica para demostrar la recurrencia de la medibles escisiones en el multiplicativo ergodic teorema.