En Real y Complejo Análisis, Rudin da un ejemplo (debido a Sierpinski) de una función de $f:[0,1]^2\to[0,1]$ por separado Lebesgue-medible en cada argumento, de tal manera que $$ \int_0^1 dx\int_0^1f(x,y)\,dy \neq \int_0^1 dy\int_0^1f(x,y)\,dx $$ (todas las integrales son w.r.t. la medida de Lebesgue en $[0,1]$). La construcción de la $f$ requiere la Hipótesis continua, y mi pregunta es: ¿Qué pasa si se nos niega el cap? ¿Es entonces que todas las funciones de $f:[0,1]^2\to[0,1]$ por separado Lebesgue-medible en cada uno de los argumentos satisfacen la conclusión del teorema de Fubini?
Respuesta
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Ver Cardenal Condiciones de Fuerte Teoremas de Fubini, José Shipman Transacciones de la Sociedad Matemática Americana Vol. 321, Nº 2 (Oct., 1990), pp 465-481.
En general: Deje $(X,A,μ)$ e $(Y,B,ν)$ ser $σ$-finito medir los espacios. El fuerte Fubini axioma ($SFA^∗$) afirma que siempre que las integrales iteradas para algunos $f:X×Y→[0,∞)$ se definen a continuación, deben ser iguales. Es conocido por $X=Y=R$ e $μ=ν=$ medida de Lebesgue, $CH$ implica la no-$SFA^∗$ y el documento mencionado muestra que no(Lebesgue nula)$<$Cov(Lebesgue nula) implica $SFA^∗$.
Usted también puede buscar en el Fuerte de Fubini axiomas de la medida de la extensión de axiomas para las extensiones
