A la hora de estudiar teoría de la representación, funciones especiales o varios otros temas es muy probable que encuentre el siguiente identidad en algún momento: $$\det \left(\frac{1}{x _i+y _j}\right) _{1\le i,j \le n}=\frac{\prod _{1\le i < j\le n} (x _j-x _i)(y _j-y _i)}{\prod _{i,j=1}^n (x _i+y _j)}$$ Esto va bajo el nombre de Cauchy es determinante de la identidad, y cuenta con varias generalizaciones y análogos declaraciones. También hay un montón de diferentes pruebas utilizando el análisis o el álgebra. En mi caso siempre he visto que se ha introducido (o motivación) como una identidad en la que juega un papel importante en la combinatoria, pero me di cuenta de que realmente no he visto esta identidad en una combinatoria contexto antes. En esta pregunta estoy pidiendo una combinatoria de interpretación de la anterior identidad. Un bono a alguien que le pueda dar una interpretación semejante a Borchardt la variación: $$\det \left(\frac{1}{(x _i+y _j)^2}\right) _{1\le i,j \le n}=\frac{\prod _{1\le i < j\le n} (x _j-x _i)(y _j-y _i)}{\prod _{i,j=1}^n (x _i+y _j)} \cdot \text{per}\left(\frac{1}{x _i +y _j}\right) _{1 \le i,j \le n}$$ (Esto parece un poco demasiado ambicioso, y yo estaría feliz de aceptar una respuesta de sólo la primera pregunta)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ver también pp 397--398 de la Combinatoria Enumerativa, vol. 2. Cauchy es determinante está dado en un poco diferente, pero de forma equivalente. Se explica allí que la evaluación del determinante es equivalente a la identidad fundamental $\prod(1-x_iy_j)^{-1} =\sum_\lambda s_\lambda(x)s_\lambda(y)$ en la teoría de la simétrica funciones.
Rakesh Juyal
Puntos
203
Ver Teorema 1.5 y 2 de la sección de Un Bijective Prueba de Borchardt la Identidad por Dan Cantante.
