¿Por qué puedo resolver una ecuación imposible el uso de álgebra lineal?

Question

Actualmente estoy aprendiendo de matlab y de álgebra lineal de lado a lado y me topé con este ejemplo de mathworks

A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
x = A\b

x = 3×1

     0
4.0000
0.6667

que en mi mente se traduce en

$$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \end{de la matriz}\right] B = \left[ \begin{matrix} 8 \\ 18 \end{de la matriz}\right] x = \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{de la matriz}\right] $$

$$ Ax = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \end{de la matriz}\right] \times \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{de la matriz}\right] = \left[ \begin{matrix} a + 2b \\ 4b + 3c \end{de la matriz}\right] $$

que se reduce a $$ \left[ \begin{matrix} a + 2b \\ 4b + 3c \end{de la matriz}\right] = \left[ \begin{matrix} 8\\ 18 \end{de la matriz}\right] \Rightarrow \begin{matrix}a + 2b = 8 \\4b + 3c = 18\end{de la matriz} $$

que es una ecuación con 3 desconocidos (a, b y c) con dos ecuaciones, lo cual es imposible! Sí, hay una solución $$ x = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 2/3 \end{de la matriz}\right] $$

¿Cómo puedo resolver una ecuación imposible (tres desconocidos y dos ecuaciones) utilizando álgebra lineal?

Answer 1

Si hay menos ecuaciones que incógnitas, por lo general, hay muchas soluciones. No es imposible, pero indeterminado.

Un ejemplo extremo es esto: un desconocido, pero no de la ecuación !

Answer 2

Lo que MATLAB está haciendo, aquí, es la búsqueda de una solución para el sistema subdeterminado de ecuaciones que tiene el menor número posible de no-cero elementos. Es decir, se maximiza el número de ceros en $x$.

MATLAB también puede ser aplicado a la realidad-sin solución de sistemas (sobredeterminada), en el cual se dará a la "solución" con el más pequeño error (es decir, el que minimiza $||Ax-b||_2$).

Answer 3

No es imposible. El problema tiene una interpretación geométrica que puede aclarar las cosas para usted. Sabemos que todos los puntos de $(x,y,z)$ sobre un plano en el espacio tridimensional satisfacer las ecuaciones de la forma $Ax+By+Cz=D$. Podemos, por tanto, interpretar las ecuaciones $a+2b=8$ e $4b+3c=18$ como planos en el espacio tridimensional. Sabemos que si dos planos en el espacio tridimensional no son paralelos el uno al otro, entonces se debe intersectar a lo largo de una línea. Por lo tanto, cualquier punto de $(a,b,c)$ (como $(0,4,2/3)$, por ejemplo) que se encuentra en esta línea va a satisfacer el sistema de ecuaciones en su pregunta.

Aquí está un diagrama para ilustrar mi punto. El punto de $(0,4,2/3)$ está indicado, así

Para encontrar estos puntos, si la línea no es paralelo a ninguno de los ejes, entonces usted puede simplemente escoger un valor de $a$, $b$o $c$, dejando sólo dos incógnitas, y luego resolver el sistema resultante de ecuaciones como lo haría normalmente.

Answer 4

Un sistema de 2 (o $n$) ecuaciones en 3 (o $m$) incógnitas (con $n<m$) si se tiene una solución, entonces tiene número infinito de soluciones.

Un sistema de 3 (o $n$) ecuaciones en 2 (o $m$) incógnitas (con $n>m$) no podría tener una solución.

Answer 5

El conjunto de soluciones de $S = \{ x \vert Ax=b \}$ será uno de los tres casos:

1. No hay solución, $S = \emptyset$, $b \not\in \{ Ax \mid x\in V\}$, donde $A: V \to W$.
2. Una solución, $S = \{ y \}$
3. Una cantidad infinita de soluciones

El "imposible" caso 1., pero su sistema es del caso 3.