Semisimplicidad para productos tensoriales de representaciones de grupos finitos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $k$ un campo característico $p>0$ . Dejemos que $$\rho_i: G\to GL(V_i),~ i=1,2$$ sean dos semisimples de dimensión finita $k$ -representaciones de $G$ con $\dim(V_1)+\dim(V_2)<p+2.$ Entonces un teorema de Serre de 1994 nos dice que $\rho_1\otimes\rho_2$ es semisimple.

Me preguntaba ¿hay una prueba más fácil en el caso de que $G$ es finito ?

Especializar la prueba de Serre al caso de los grupos finitos no parece aportar ninguna simplificación real; hay que aplicar la llamada saturación para sustituir el subgrupo de $G$ generado por elementos de orden una potencia de $p$ por un grupo lineal-algebraico.

Sospecho que la respuesta es "no" -- me parece que el caso general se reduce al caso de los grupos finitos (por un argumento de extensión y especialización), así que es difícil creer que este caso pueda ser sustancialmente más fácil -- pero pensé que valía la pena preguntar. También me interesaría una prueba con límites peores, por ejemplo con $p+2$ sustituido por cualquier función creciente de $p$ .

Answer 1

Hay un resultado de D. S. Passmann y D. Quinn en "Burnside's theorem for Hopf algebras", Corolario 8, que dice lo siguiente:

Si $A$ es un álgebra de Hopf de dimensión finita, entonces el conjunto de las $A$ -es cerrado bajo producto tensorial si y sólo si el radical Jacobson radical $J(A)$ es un ideal de Hopf de $A$ .

Si necesita todos los semisimples $A$ -que sean cerrados bajo productos tensoriales, entonces la cuestión se reduce a algo sobre el radical de Jacobson.

En un artículo de M. Lorenz, "Representación de álgebras de Hopf de dimensión finita", hace los siguientes comentarios:

Observaciones y ejemplos. 1) Si todos los simples $H$ -son 1-dimensional (equivalentemente, $H/J\simeq k^r$ como $k$ -para algunas $r$ ), entonces todos los productos tensoriales de simples $H$ -son también unidimensionales, y por lo que la condición (2) del lema se cumple claramente. Así pues, $J$ es un ideal de Hopf en este caso. ......

2) Si $H=kG$ es un álgebra de grupo finito, entonces $J$ es un ideal de Hopf precisamente si $G$ tiene un Sylow normal $p$ -subgrupo [M].

[M] R. K. Molner, "Tensor products and semisimple modular representations of finite groups and restricted Lie algebras", Rocky Mountain J. Math. 111981 , 581-591.