Topología diferencial sobre $\mathbb{Q}$

Question

Tengo una pregunta específica en mente, pero requiere un poco de explicación y contexto antes de que pueda ser expresado formalmente. Para resumir en una frase, es este:

Son cada dos racional de los colectores de la misma dimensión diffeomorphic?

Explicación:

Se sabe que $\mathbb{Q}^n\cong \mathbb{Q}$ (homeomórficos) para cada $n\in \mathbb{N}$. Es un corolario de Sierpiński del teorema que dice que todo contables espacio métrico sin puntos aislados es homeomórficos a $\mathbb{Q}$. (Una prueba se puede encontrar aquí y una discusión aquí).

Esto significa que no podemos distinguir topológicamente entre un $n$-racional colector y un $m$-racional del colector. (Donde definimos un $n$-racional del colector de la manera obvia: Un espacio topológico que es localmente homeomórficos a $\mathbb{Q}^n$).

Sin embargo, cuando nos fijamos en dos diferentes colectores desde la perspectiva de la topología diferencial nos puede distinguir entre ellos:

Deje $f:\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}^m$. Se puede definir lo que significa para tal $f$ a ser diferenciables: (El diferencial será una transformación lineal $\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}^m$).

La definición (de la diferenciabilidad) sobre $\mathbb{R}$ utiliza el hecho de que es una ordenó campo, y la norma de la estructura en $\mathbb{R}^n$. No tenemos el estándar de la norma euclídea en $\mathbb{Q}^n$ (no podemos tomar raíces cuadradas en $\mathbb{Q}$, y la normativa espacios están definidos para ser espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), pero podemos usar el "racional" $1$-norma en su lugar.

Esta es sólo una opción que funciona "intrínsecamente", me.e no requieren el uso de números fuera de $\mathbb{Q}$. Podemos utilizar otras alternativas de curso o dejarnos ir fuera de el mundo racional y medir distancias utilizando números reales.

Ahora vamos a decir que dos racional de los colectores $M,N$ son diffeomorphic si hay un diferenciable de asignación de $f:M \longrightarrow N$ cuya inversa es también diferenciable. (Claro que podemos exigir condiciones más fuerte, como el doble differentiabililty etc..).

Tenga en cuenta que la regla de la cadena tiene (su prueba utiliza sólo la orden de la estructura de campo, no especiales propery de $\mathbb{R}$).

Es claro que si $f: \mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}^m$ es un diffeomorphism, su diferencial será un isomorfismo lineal (a través de la regla de la cadena). Pero esto es una contradicción si $n\neq m$.

Esto muestra que la noción de racional-diferencial-colector no es trivial (a diferencia de la topológico caso), y por lo trae hasta la naturales siguientes preguntas:

Son cada dos racional de los colectores de la misma dimensión diffeomorphic?

Supongo que hay muchas más preguntas que uno podría pedir. Yo creo que es muy interesante para saber cuánto topología diferencial\geometría podemos hacer sobre otros ordenó campos que no son $\mathbb{R}$ ?

(En cierto sentido, no mucho. Por ejemplo, el teorema de la función inversa no contener más de $\mathbb{Q}$).

Answer 1

Reclamo : cualquier racional manifold es un discontinuo de la unión de los racionales de la pelota.

vamos a demostrar que para una contables racional múltiples:

asumir el punto de $X$ están numerados $x_1,\dots,x_n...$.

Escoge un barrio de $x_1$ que es diffeomorphic a abrir una pelota en $\mathbb{Q}^n$ y, a continuación, recoger un balón cerca de $x_i$ en ese barrio que es a la vez abierto y cerrado (y lo suficientemente pequeño como para que también está cerrado en $X$) por ejemplo, elegir una bola cuyo radio no es una raíz cuadrada de un número racional. Llamarlo $F_1$.

Debido a $F$ es abierto y cerrado, se puede comprobar fácilmente que $X$ es diffeomorphic a $(X-F) \cup F$. Hacer lo mismo en $X - F$ para los próximos $x_i$ que no está en $F_1$, se obtiene un clopen balón $F_2$ y seguir adelante...

A fin de obtener una partición de $X$ en clopen balón $F_1, \dots F_n \dots...$ y canónica de mapa entre el $X$ y la inconexión de la unión de la $F_i$ es un diffeomorphism. (porque está en todas las $F_i$, lo que forma una cubierta abierta de $X$).

Para romper este argumento y permiten recuperar parte de la conducta real de la geometría diferencial lo que usted necesita es una estructura uniforme (o un Riemanian/métrica de la estructura, por ejemplo) en su diferencial colector compatible con el colector de la estructura de lo que obligará a la existencia de un "real de finalización". O casi el mismo) una noción de lo admisible cubierta similar a lo que tenemos en analítica rígida geometría.

EDIT : se puede mejorar el argumento para demostrar que cualquier contables colector de la misma dimensión positiva son diffeomorphic: basta elegir todos los clopen bola construimos tener comensurable radio en $\mathbb{Q}^n$ (por ejemplo raidus $q \pi$), de esta manera cualquiera de las dos bolas que obtengamos será diffeomorphic. Si una de las colector está formado por sólo un número finito de bolas, siempre se puede dividir uno de la pelota en un número infinito de bola más pequeña usando el mismo proceso con la bola de radio $R/4^k$ dentro de la inicial de la pelota: un número finito de la familia de las bolas que no puede cubrir la inicial de la pelota por un argumento de volumen.