¿Hay alguna manera de reescribir una ecuación diferencial parcial utilizando el lenguaje de las formas diferenciales, los tensores, etc.?

Question

Mi pregunta es: normalmente, una ecuación diferencial parcial, por ejemplo, las procedentes de la física, se escribe en un lenguaje de cálculo vectorial en una coordenada local. ¿Hay alguna manera (o alguna algoritmo ) que podemos utilizar para reescribirlo utilizando el lenguaje de las formas diferenciales, el tensor, el cálculo exterior, la estrella de Hodge y otros operadores que son independientes de las coordenadas? Un ejemplo, el Grad f puede reescribirse como una forma geométrica: (df)#, donde # es un operador agudo que convierte una forma única en un vector. Actualmente me estoy enfrentando a este problema para convertir una ecuación diferencial parcial en su forma independiente de coordenadas, lo que implica formas, tensores, cálculo exterior y otros operadores.

Gracias a quien me ayude con este problema.

Answer 1

Esto es bastante estándar, aunque, desafortunadamente, este conocimiento está confinado a un segmento bastante estrecho de matemáticos que trabajan en EDP. La razón principal es que, la mayoría de las veces, no es necesario para los problemas prácticos. De hecho, hay múltiples maneras de convertir una EDP en forma invariante.

En física matemática, esta cuestión se plantea cuando se intenta generalizar las ecuaciones del espacio plano al espacio curvo. El principal recurso técnico consiste en introducir una dependencia explícita de una métrica $g$ y utilizar la diferenciación covariante, con respecto a $g$ para sustituir a los derivados ordinarios. La forma invariante de las ecuaciones originales del espacio plano se obtiene entonces simplemente sustituyendo $g$ por la métrica euclidiana. Este método se conoce a veces coloquialmente como el la coma va a la regla del punto y coma donde los signos de puntuación representan la notación para las derivadas ordinarias y covariantes. Se puede encontrar más información sobre esto en los libros de texto sobre RG. Por ejemplo, Gravitación de Misner, Thorne & Wheeler definitivamente discutiría esto.

Supongo que le agradará detenerse aquí. Pero si buscas más generalidad y sofisticación matemática, sigue leyendo.

Otro método consiste en introducir repetidamente variables dependientes auxiliares, hasta que el sistema de la EDP pase a ser de primer orden, y esto puede hacerse de forma que todas las variables dependientes sean en realidad formas diferenciales y las diferenciaciones sólo se efectúen a través de la derivada exterior. Una vez en esta forma, el sistema PDE es manifiestamente invariante. Este enfoque fue iniciado por Cartan y se explica en profundidad en el conocido libro Sistemas diferenciales exteriores por Bryant et al.

Otra forma, que no implica la reducción a un sistema de primer orden, es observar que las derivadas de orden arbitrario se describen matemáticamente de forma invariante mediante jets . Una EDP arbitraria puede entonces describirse en términos de chorros. Una vez que se descifran todas las definiciones pertinentes, este tipo de descripción es manifiestamente invariable, pero no siempre es útil, ya que lo único que hace es agrupar las complicadas reglas de transformación de las derivadas superiores bajo cambios de coordenadas en el lenguaje de los chorros. Sin embargo, creo que es importante aprenderlo, ya que proporciona las herramientas para estudiar los sistemas de EDP de una manera muy profunda. Se puede encontrar un tratamiento elemental de las EDP en el contexto de los chorros en el libro Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales por Olver. También se puede encontrar un tratamiento mucho más sofisticado en el mencionado libro de Bryant et al. Otra referencia muy útil es Operaciones naturales en geometría diferencial por Kolar, Michor y Slovak.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal M$ sea una variedad lisa. Una EDP lineal en $\mathcal M$ es una suma de términos $$ X_1\dots X_N u,\quad\text{where the $ X_j $ are smooth vector fields.} $$ Podemos utilizar la convención de que si $N=0$ , esto no es más que la multiplicación por una función suave. En otras palabras, una EDP lineal en $\mathcal M$ es un polinomio (no conmutativo) con coeficientes constantes de campos vectoriales. Se dice que esta EDP es de orden $m$ cuando el polinomio es de grado $m$ . Una EDP general sobre $\mathcal M$ es una función $F(u,P_1 u,\dots, P_m u)$ donde $P_j$ es un operador diferencial lineal de orden $j$ definida anteriormente.

Permítanme poner un ejemplo sencillo y célebre. El sistema de Euler que describe los fluidos incompresibles no viscosos suele escribirse como $$ \partial_t u+u\cdot \nabla u=-\nabla p,\quad \text{div}u=0,\quad u_{\vert t=0}=u_0. $$ La función $u$ se define en $\mathbb R_t\times\mathbb R^3_x$ y valorado en $\mathbb R^3_x$ . Una versión geométrica en un $3D$ múltiple está arrojando luz sobre este sistema de ecuaciones. En primer lugar $u$ debe considerarse como una forma 1, la presión $p$ es una función y $dp$ es su diferencial, también una 1 forma. Supongamos ahora que tenemos en nuestra variedad una estructura adicional, como una estructura riemanniana que permite identificar las formas 1 con los campos vectoriales. En el caso de una estructura riemanniana dada por un tensor métrico $g$ podemos identificar un 1-de $u$ con un campo vectorial $v$ a través del emparejamiento $$ g(v,w)=\langle u,w\rangle,\quad \text{for any vector field $ w $. We write this as $ gv=u $}. $$ Podemos entonces considerar la derivada de Lie $\mathcal L_v$ y en coordenadas en $\mathbb R^3$ $$ \sum_{1\le j\le 3}\mathcal L_v(u_j) dx_j=\mathcal L_v(u)-\sum_{1\le j\le 3}u_j \mathcal L_v(dx_j)=\mathcal L_v(u)-\sum_{1\le j\le 3}u_j dv_j=\mathcal L_v(u)-\frac12 d(\vert v\vert^2). $$ El sistema de Euler expresa la exactitud de una forma 1 y se lee en una variedad riemanniana 3D simplemente conectada $$ \partial_t u+\mathcal L_v(u)-\frac12 d(g(v,v))=-dp, gv=u, \text{div $ v $=0} $$ para que (nótese que $\mathrm{curl}\, u$ aparece simplemente como el diferencial exterior $du$ (las dos formas en 3D son también tridimensionales), ya que la derivada de Lie conmuta con la diferenciación exterior, con $\omega =du$ , $$ \partial_t \omega +\mathcal L_v(\omega)=0,\quad gv=u,\omega =du,\quad \text{div $ v $=0}. $$ Esta última expresión proporciona una visión geométrica del sistema de Euler. Algo similar podría hacerse para el sistema de Navier-Stokes.

Answer 3

Para escribir las ecuaciones en forma invariante primero hay que definir los distintos objetos que intervienen en la forma invariante. A veces esto no es tan obvio y se necesita una nueva visión. A continuación se presentan dos ejemplos que, esperamos, ilustren las formas en que las cosas pueden ser complicadas.

1.Las ecuaciones de Euler-Lagrange son independientes de las coordenadas, pero si el Lagrangiano es un poco más sofisticado es difícil llegar a una forma invariante. Una forma conveniente de hacerlo es a través de la transformación de Legendre que conduce a las ecuaciones hamiltonianas. Sin embargo, esto sólo puede utilizarse para ciertas clases de Lagrangianos.

2.Las ecuaciones que surgen en la teoría gauge requieren un poco de delicadeza ya que necesitan la introducción de un nuevo objeto (por ejemplo, un haz principal) cuyo tipo topológico esconde alguna cantidad física sutil. Las dificultades no terminan aquí y este tema sigue siendo investigado desde un punto de vista bastante sofisticado. Post de Andy Manion, Teoría gauge y el bicomplejo variacional es un buen punto de partida.

Answer 4

El artículo básico es Journal of Mathematical Physics , Vol. 12. New York: American Institute of Physics. (1971): 653-666 (el llamado "procedimiento Harrison-Estabrook"). Este procedimiento está implementado en el paquete "Liesymm" para Maple.