Recientemente he estado leyendo Lurie "Superior" Topos "Teoría", y vienen a lo que yo creo que es un erronous reclamación. Sin embargo, el autor va a un poco de dolor como resultado de la reclamación, y el error parece afectar a varias otras declaraciones. También, yo soy relativamente familiarizado con los argumentos acerca de los tamaños de las categorías, las cuales parecen ser relevantes aquí. Como resultado, soy reacia a confiar en mi entendimiento.
Específicamente, el autor define la categoría de $Idem$ en la definición 4.4.5.2 (también se define en nlab). A mi entender, es el nervio de la ordinaria de la categoría con un objeto y dos morfismos, $id$, $e$ con $e\circ e=e$.
Por encima de la proposición 4.4.5.15, la autora afirma que esta categoría no es filtrada. Esto no parece cierto para mí: para cualquier conjunto simplicial $K$ y un mapa de la $K\rightarrow Idem$, es posible ampliarlo a un cono punto en $K$ través $e$.
Este tema reaparece de nuevo más tarde. De hecho, en la proposición 5.3.1.15, se afirma que una lo suficientemente pequeño filtrada categoría tiene un objeto final. A mi entender, $Idem$ debe ser un contraejemplo a ese teorema. De lo contrario, considere la posibilidad de un muy pequeño $\infty$categoría $\mathcal{C}$, y una proporción mucho mayor cardenal $\kappa$. El ind-categoría $Ind_\kappa(\mathcal{C})$ debe ser el idempotente finalización de $\mathcal{C}$. Sin embargo, también es dada por la $\kappa$-a la derecha-exacto functors en $\mathcal{C}$, que son las $\kappa$-filtrada derecho fibrations más de $\mathcal{C}$. Eligiendo $\kappa$ suficientemente grande (y tal vez ampliar el universo), podemos asumir que dicha fibrations se $\kappa$-pequeña, y por lo tanto tienen un objeto final y son representables. Esto implicaría que $Ind_\kappa(\mathcal{C})=\mathcal{C}$, una contradicción. Esto sugiere que la $Idem$ debe, en un sentido, ser el único contraejemplo.
De hecho, el argumento anterior podría ser aún más concreto: supongamos $\mathcal{C}=Idem$. Su idempotente terminación $Idem^+$ contiene un objeto adicional $x$, lo que define un derecho fibration más de $Idem$ través $Idem\times_{Idem^+}Idem^+_{/x}$. Esto puede verse fácilmente en el equivalente al trivial derecho fibration $Idem\rightarrow Idem$. Desde este fibration pertenece a $Ind_\kappa(Idem)$ para todos los $\kappa$, debería ser $\kappa$-filtrada.
Por último, creo que también sé dónde está el error en la prueba de 5.3.1.15. La autora afirma que la existencia de un retraer $\mathcal{C}^\triangleright\rightarrow\mathcal{C}$ implica que el $\mathcal{C}$ tiene un objeto final. Esto es falso, de nuevo, como puede ser demostrado por la $Idem$.
Estoy seguro de cómo conciliar esto con las afirmaciones de la autora, y gustosamente agradezco cualquier ayuda!
