El Wronskian de sin(kx) y cos(kx), k=1...n

Question

¿Cuál es el determinante del Wronskian de las funciones $\{\cos\ x, \sin\ x, \cos\ 2x, \sin\ 2x,\ldots, \cos\ nx, \sin\ nx\}$ ? Este determinante parece ser un número entero, y la secuencia comienza con 1, 18, 86400, 548674560000... No está en la Enciclopedia.

Pregunta ¿Qué es esta secuencia? Supongo que basta con demostrar que está formada por números enteros (constantes), porque entonces para calcularla se puede poner simplemente $x=0$ .

Actualización 1. El hecho de que el determinante de la matriz Wronskiana sea una constante es obvio. Tomemos la derivada del determinante. Es una suma de determinantes de matrices cada una de las cuales tiene dos columnas proporcionales.

Actualización 2. El determinante es igual al cuadrado del determinante de Vandermonde de $1, 2^2,\ldots, n^2$ veces $n!$ (como alternativa, véase la respuesta de Felipe Voloch más abajo). Es interesante que para $n=1$ obtenemos justo la igualdad $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ (la ecuación del círculo). Por lo tanto, la igualdad para $n > 1$ puede considerarse como la generalización de esta ecuación. ¿Qué geometría hay detrás de esta identidad? Por supuesto, la parametrización $(\cos x,\sin x,\ldots, \cos nx, \sin nx)$ define alguna curva en $\mathbb{R}^{2n}$ . ¿Qué se sabe de esa curva?

Actualización 3. Aquí hay una fórmula más fácil para el determinante. Es igual a $$(1! 3!\ldots (2n-1)!)^2/n!$$

Actualización 4 He encontrado un artículo relacionado: Larsen, Mogens Esrom, Wronskian harmony. Math. Mag. 63 (1990), nº 1, 33-37. Considera el Wronskian de $\sin x, \ldots, \sin nx$ .

Actualización 5. La secuencia está en el Enciclopedia ahora.

Answer 1

Si sólo necesitas que no dependa de $x$ considere el siguiente argumento. Para cualquier $\pi \in S_{2n}$ escrito como $\pi(1)\pi(2)\cdots \pi(n)$ , dejemos que $[\pi]$ sea el conjunto de todas las permutaciones $\sigma \in S_{2n}$ que satisfacen $\lbrace\sigma(2k-1),\sigma(2k)\rbrace =\lbrace\pi(2k-1),\pi(2k)\rbrace$ como conjuntos para todos $k$ . Entonces $S_{2n}$ puede escribirse como una unión disjunta de dichas clases $[\pi]$ y, por tanto, los términos del determinante pueden agruparse en consecuencia. Se puede ver que para cada $[\pi]$ los términos correlativos en el determinante suman cero si $\pi(2j-1)+\pi(2j)$ es incluso para algunos $j$ y a $$ (-1)^{\text{something}}\prod_{j=1}^{n}\left( j^{\pi(2j-1)+\pi(2j)}(\sin^2(jx)+\cos^2(jx))\right)$$ en caso contrario, lo que deja claro que el determinante no depende de $x$ .

Answer 2

Estas funciones son soluciones de la ecuación diferencial homogénea con ecuación característica $(r^2+1)(r^2+4)(r^2+9)\dots(r^2+n^2)$ . Por la identidad de Abel, el Wronskian de un conjunto fundamental de soluciones es su valor en cero por la integral $\int_0^x -p_{2n-1}(t) dt$ , donde $p_{2n-1}(t)$ es el coeficiente en $y^{(2n-1)}$ . Pero en nuestro caso $p_{2n-1}(t)=0$ , por lo que tenemos que el Wronskian es constante.

Answer 3

Es algo similar a $(i/2)^n$ veces el Vandermonde de $i,2i,\ldots,ni,-i,-2i,\ldots,-ni$ .