Esta pregunta va a ser muy vaga.
Parece que donde quiera que vaya (especialmente acerca de Grothendieck del círculo de ideas) el de mayores dimensiones analógica de una curva menos un número finito de puntos es un esquema de menos normal cruce de divisor.
¿Por qué es eso? ¿Qué es tan especial acerca de una normal cruce divisor que simula una curva menos un número finito de puntos mejor?
Principalmente tiene que ver con la búsqueda de niza compactifications. Compactifications de las variedades son una buena cosa ya que nos permite controlar lo que sucede en "el infinito". Si la variedad en sí es suave parece una buena idea (y lo es!) a la demanda que el compactification también ser suave. Sin embargo, usted necesita la situación para ser agradable al infinito con el fin de hacer el estudio del comportamiento asintótico en infinito a ser tan fácil como sea posible. El mejor comportamiento en el infinito sería si el complemento eran suaves, pero que en general no es posible. Lo que siempre es posible es la demanda que el complemento sea un divisor con la normal de cruces. En la práctica funciona básicamente así como tener un suave complemento: Usted tiene un montón de suave variedades de intersección en tan agradable como sea posible.
Un punto relacionado es que si dicen que la $X\subset Y$ y desea incrustado resolución de $X$, entonces usted puede, por supuesto, pedir que desea un birational de morfismos $\pi:Z\to Y$ de manera tal que la estricta transformación de $X$ es suave, pero una cosa mejor que preguntar es el de toda la pre-imagen de $X$ es tan agradable como sea posible. Por desgracia (en general) no puede hacer que la preimagen de $X$ liso como el excepcional conjunto de agregar componentes adicionales y dónde se reúnen va a ser un punto singular. Así, usted puede pedir que la mejor cosa siguiente: normal cruces. Incluso se podría decir que normal cruces es el reducible analógica de lisa.
De todos modos, este es el resultado de Hironaka, JS Milne mencionado anteriormente: para cualquier $X\subset Y$ (además de algunas suposiciones razonables), existe una proyectiva birational $\pi$ tal que $Z$ es suave y $\pi^{-1}X$ es normal en el cruce de divisor. Si $Y\setminus X$ es suave, entonces usted puede incluso requerir que $\pi$ es un isomorfismo fuera de $X$.
El compactification resultado es una simple consecuencia de esto: si $U$ es abierto (es decir cuasi-proyectiva), elija una proyectiva compactification $Y$ y deje $X=Y\setminus U$. Realizar Hironaka integrado de resolución de singularidades y consigue $U\subset Z$ con el complemento de ser una normal cruce de divisor.
Uno, un poco independiente de la palabra en normal cruces. Parece que hay cierta confusión en la literatura sobre lo normal cruces de decir. O más bien cuál es la diferencia entre normal cruces y simple normal cruces. Bueno, el punto es que (hoy en día), ésta se entiende en la topología de Zariski mientras que el primero en la analítica o formal de la topología. En otras palabras, simple normal cruces significa que cada componente irreducible es suave y se reúnen de manera transversal, mientras que la normal cruces permite un componente al encuentro de sí mismo de forma transversal. En particular, un nodal de la curva normal cruces pero no simple normal cruces.
En la discusión anterior y en las otras respuestas antes de esto, siempre se puede poner simple normal cruces en lugar de la normal de cruces y de las declaraciones que se mantenga así. Es posible que cuando Hironaka demostró su famoso teorema, esta distinción no se ha hecho así en los textos más antiguos que el significado puede ser diferente. Al mismo tiempo, de acuerdo a miles Reid, fue el Japonés que inventó el término simple normal cruces.
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