¿Qué son las ecuaciones para $SL_3/SL_2$?

Question

Considere la posibilidad de $SL_2$ incrustado en $SL_3$ la parte superior del bloque de izquierda de las matrices. El cociente $SL_3/SL_2$ es una variedad afín, como lo es cualquier cociente de reductora grupos. ¿Cómo describir a $SL_3/SL_2$? ¿Qué son las ecuaciones en algunos afín espacio?

(También se puede plantear la misma pregunta más general, para $SL_{n}/SL_{n - 1}$.)

Answer 1

En general, $SL_n/SL_{n - 1}$ es isomorfo a un afín subvariedad $X$ de $\mathbb{A}^{2n}$ con coordenadas de ecuaciones dado por $\sum_i x_i y_i = 1$.

El mapa de $SL_n/SL_{n-1} \rightarrow X$ está dada por: las coordenadas $y_i$ están dadas por las "últimas" del vector (es decir, la última columna), que no se ve afectado por $SL_{n-1}$, y las coordenadas $x_i$ están dados por las $(n-1)$-menores de edad que ignoran la última columna (e la $i$th fila), con alguna señal de conmutación. Tenga en cuenta que ambos son invariables, por lo que esta es una buena definición de mapa. La ecuación entonces viene la ecuación de los determinantes de la expansión por menores de edad.

Este mapa también puede ser invertida: dadas las coordenadas de $x_i, y_i$ tal que $\sum_i x_i y_i = 1$, podemos encontrar una matriz de $A \in SL_n$ tal que la última columna de $A$ es $y_i$, y de tal manera que el $(n-1)$-menores de edad ignorando la última columna se $x_i$. Claramente, se puede "llenar" en la última columna tal como es, para que podamos centrarnos en los menores de edad, utilizando la matriz de $A_{n-1}$ con $n - 1$ columnas. Al menos uno de los $x_i$ debe ser distinto de cero. Rellenar las filas de $A_{n-1}$ otros de $i$ con una matriz diagonal con la primera entrada igual a $x_i$, y el resto igual a $1$. A continuación solo tienes que llenar la $i$th fila. Pero es evidente que las ecuaciones para cada uno de los menores nos dicen una coordenada en la fila - probar por ti mismo para ver por qué. Que "rellena" las coordenadas, y cada una de las obras menores, por lo que ahora tienen una matriz de $A$.

Me dicen que este mapa está bien definido - que nos da la misma clase de $SL_n/SL_{n-1}$ no importa que distinto de cero $x_i$ elegimos. Supongamos que tenemos algunos $B$ con el mismo $(n-1)$-menores de edad ignorando la última columna (y el mismo final de la columna), como la $A$ construido anteriormente. A continuación, su $i$th $(n-1)$-submatriz debe tener determinante $x_i$, que es distinto de cero, por lo que debe ser invertible. Por lo tanto, existe un único elemento $M \in SL_{n-1}$ tal que $B_{n-1}M = A_{n-1}$ para todas las filas, pero las $i$th fila. Pero por la comprobación de los otros menores de edad, luego podemos ver que $B_{n-1}M = A_{n-1}$ - de nuevo, probar y ver por ti mismo. Por lo tanto, este mapa está bien definido. Por tanto, tenemos que si $M'$ es la extensión de $M$ mediante la adición de una sola $1$-bloque a $M$, a continuación, $BM' = A$.

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La incorporación de una idea de YCor comentario:

En general, un espacio homogéneo $G/H$ es isomorfo a la $G$-órbita de un punto con estabilizador $H$. Como tal, sólo necesitamos encontrar un espacio afín $X$ con $SL_n$-acción y un punto de $x \in X$ tal que $SL_{n-1}$ es el estabilizador de la $x$. Podemos considerar $SL_{n-1}$ como la intersección de dos subgrupos de $SL_n$: el subgrupo que sale de la última columna fija (que se compone de todas las matrices donde la última columna es $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$), y el subgrupo que sale de la $(n-1)$-menores de edad fijo (que consta de todas las matrices donde el último de la fila es $\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 1\end{pmatrix}$). Deje $V$ ser la representación natural de $SL_n$, e $V^*$ ser su doble. El primero de estos subgrupos puede ser considerado como el estabilizador del vector $\vec{v} := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \in V$, mientras que el segundo de los subgrupos puede ser considerado como el estabilizador del vector $\vec{v}^* := \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 1\end{pmatrix} \in V^*$. Como tal, $SL_{n-1}$ es la intersección de dos estabilizadores, y por lo tanto es el estabilizador de la $(\vec{v}, \vec{v^*}) \in V \oplus V^*$. En consecuencia, su órbita es isomorfo a $SL_n/SL_{n-1}$.