Gauss vinculación integral y la reciprocidad cuadrática

Question

En el marco de Mazur "de los números primos y de los nudos de la" analogía, el primer ideales $\mathfrak p\subset\mathcal O_K$ corresponden a los "nudos" $\operatorname{Spec}\mathcal O_K/\mathfrak p$ dentro de un "3-colector" $\operatorname{Spec}\mathcal O_K$. La ley de la reciprocidad cuadrática $(\frac pq)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}\cdot(\frac qp)$ es, pues, análoga a la simetría de la vinculación de número de $\operatorname{lk}(\gamma_1,\gamma_2)=\operatorname{lk}(\gamma_2,\gamma_1)$.

GRACIAS a S. Carnahan para la vinculación de algunas otras preguntas (ver más abajo) que le dan un montón de interesantes antecedentes sobre Mazur de la analogía.

He leído en algunos lugares (por ejemplo, el libro de los Nudos y de los números Primos por Masanori Morishita p59 Comentario 4.6) que en esta analogía la de Gauss vinculación integral: $$\operatorname{lk}(\gamma_1,\gamma_2)=\int_{K_1}\int_{K_2}\omega(x-y)\,dxdy$$ por cierto 2-formulario de $\omega$ a $\mathbb R^3\setminus 0$ (en particular, su interpretación como el $U(1)$ Chern--Simons ruta integral como en Witten) es análoga a la de Gauss expresión de suma para el símbolo de Legendre $(\frac pq)$.

Alguien puede dar más detalles acerca de cómo exactamente la suma de Gauss es análoga a la abelian ruta integral (o de referencia)?

Answer 1

Este es un hermoso aspecto de la analogía. De hecho, creo que es importante y genial para ver como una consecuencia de los previamente establecidos los aspectos de la analogía, en lugar de una nueva analogía-por-fiat. Bajo esta luz, la relación entre los residuos cuadráticos y abelian integrales es bastante simple. Como con muchas ideas en la aritmética de la topología, la idea es reemplazar algo analítica (en este caso, de Gauss, la vinculación integral) con algo lo suficientemente algebraicas que podemos cambiarlo a el número de la situación del campo. La respuesta corta es que tanto la vinculación de los números y de residuos cuadráticos de símbolos puede ser calculada como la copa de productos adecuados cohomology grupos (aquí, "adecuado" puede ser tomado en el sentido de que ya se han establecido como análoga por los anteriores aspectos de la analogía). La simetría de la vinculación de un número se vuelve completamente análoga a la declaración de la reciprocidad cuadrática de los números primos congruentes con 1 mod 4 (para el que la analogía es el más preciso/aplicable para la ramificación de razones).

Aquí están algunos detalles escabrosos:

Comenzamos por observar que en el marco de la topología algebraica, el ministerio de defensa-2 de vinculación número de dos nudos $K$ e $L$ puede ser calculada como una taza de producto en la correspondiente cohomology grupos: Tenemos $$ \text{lc}(K,L)=[K]\copa [\Sigma_L]\en H_c^3(S^3-L,\mathbb{Z}/2)\cong \{\pm 1\}, $$ where $[K]\en H_c^2(S^3-L,\mathbb{Z}/2)$ and $\Sigma_L$ is the Siefert surface of $L$, so $[\Sigma_L]\H^1(S^3-L,\mathbb{Z}/2)$.

Con un algebraicamente-analogizable objeto en la mano, nos dirigimos al campo de número de la situación. Aquí, para los números primos $p$ e $q$, en el papel de los nudos, tenemos un cuerpo establecido de la aritmética-topología de analogías. Aquí, en lugar de $S^3-K$ tenemos $\text{Spec}(\mathbb{Z}-\{p\}$, cuyo (etale$^*$) cohomology con coeficientes en $\mathbb{Z}/2$, $H^1(\text{Spec}(\mathbb{Z}-\{p\},\mathbb{Z}/2)\cong \text{Hom}(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p})/\mathbb{Q}),\mathbb{Z}/2)$ contiene la clase $[\Sigma]$ de los "Seifert superficie" $\Sigma$ correspondiente en virtud de que isomorfismo a la tradicional Kummer carácter $\chi_p$ de % de $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p})/\mathbb{Q}).$ Ahora, en lo que equivale a no mucho más que el estándar de análisis de la reciprocidad cuadrática usando el lenguaje de cohomology, podemos identificar un elemento de $H^2(\text{Spec}(\mathbb{Z}-\{p\}),\mathbb{Z}/2)$ por tomar la clase de $[q]\in \mathbb{Q}_p^{\times}/\mathbb{Q}_p^{\times 2}\cong H^1(\mathbb{Q}_p,\mathbb{Z}/2)$, y a continuación, utilizando el mapa de $H^1(\mathbb{Q}_p,\mathbb{Z}/2)\to H^2(\text{Spec}(\mathbb{Z}-\{p\}),\mathbb{Z}/2).$ a Continuación, terminando la analogía, tenemos $$ \left(\frac{q}{p}\right)=[p]\copa [\Sigma_q]\H^3(\text{Spec}(\mathbb{Z}-\{p\}),\mathbb{Z}/2)\cong \{\pm 1\}. $$ La comparación de las dos identidades para $\text{lk}(K,L)$ e $\left(\frac{q}{p}\right)$ debe hacer toda la cosa aparente.

(*): En realidad, se necesita alguna ligera variante de etale cohomlogy que compactifies el infinito de los números primos, los detalles de la que soy difusa en. Todas las ideas que aquí están, a mi conocimiento, debido a Morishita, y la mejor forma de abordar en su artículo "las Analogías entre los nudos y los primos, las 3-variedades y número de anillos," aunque me gustaría sugerir algunos otros de sus papeles como requisitos previos.