¿cómo visualizar el número de clase de un campo cuadrático imaginario?

Question

Permítanme detallar el título de la pregunta. Intento que los alumnos intuyan cuál es el número de la clase.

Dejemos que $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ con $d>0$ un entero libre de cuadrados, sea un campo imaginario cuadrático. Sea $\mathcal{O}_K$ sea su anillo de enteros. Es de la forma $\mathbb{Z}[\tau]$ con $\tau=\sqrt{-d}$ ou $\tau=\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$ dependiendo del valor de $d$ mod $4$ .

Así que pensemos en $\mathcal{O}_K$ como el entramado de $\mathbb{C}$ generado por $1$ et $\tau$ . Entonces los ideales deben corresponder a los subredes de $\mathcal{O}_K$ y dos de ellos deben definir la misma clase en el grupo de clases si se puede pasar de uno a otro multiplicando por un elemento de $\alpha$ ¿No es así?

¿Podría alguien ayudarme a precisar esta analogía? Por ejemplo, ¿cómo se puede ver que $\mathbb{Q}(i)$ tiene el número de clase 1 pero $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ no lo hace con sólo mirar los entramados correspondientes? Las descomposiciones (no equivalentes)

$2.3=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)$

sugieren considerar los entramados $\mathbb{Z}\cdot 2+\mathbb{Z}\cdot(1+\sqrt{5}i)$ et $\mathbb{Z}\cdot 3+\mathbb{Z}\cdot(1-\sqrt{5}i).$ ¿Es eso lo que tengo que hacer?

Gracias.

Answer 1

Esta es una pregunta interesante que yo mismo me he planteado, así que no puedo responderla adecuadamente, pero haré un par de observaciones elementales. En primer lugar, para una red en ${\mathbb Z}[\tau]\subset{\mathbb C}$ ser un ideal sólo significa que la multiplicación por $\tau$ lleva la red a sí misma. Por ejemplo, para los enteros gaussianos esto dice que la red es invariante bajo una rotación de 90 grados alrededor del origen. Es fácil ver que esto significa que la red es una red cuadrada con una base que consiste en dos de sus vectores más cortos. (En realidad, se trata de una versión disfrazada del algoritmo euclidiano para los enteros gaussianos). Por tanto, todo ideal es principal en este caso.

Volviendo al caso general, otra observación es que si dos ideales están en la misma clase ideal, entonces los dos entramados están relacionados por una similitud que preserva la orientación, es decir, la rotación y el reescalado, que es lo que multiplica un ideal por un elemento de ${\mathbb Z}[\tau]$ hace a un entramado. (Parece que lo contrario también debería ser cierto). Por ejemplo, en el caso $\tau =\sqrt5i$ la clase ideal principal consiste en redes rectangulares similares a ${\mathbb Z}[\tau]$ y la otra clase ideal (el número de clase es 2 en este caso) está formada por entramados similares al entramado $(2,1+\sqrt5i)$ que es sesgada en lugar de rectangular. Es ilustrativo hacer un dibujo para ver cómo este entramado es invariante bajo la multiplicación por $\sqrt5i$ .

Otra cosa que se puede ver geométricamente es la correspondencia entre clases ideales y clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias de discriminante fijo. Un ideal, visto como una red, determina una forma cuadrática restringiendo la norma habitual (al cuadrado) $x^2 + y^2$ a la red, y luego renormalizar adecuadamente para que los ideales equivalentes tengan formas cuadráticas equivalentes. Un libro de texto que explica esto, al menos hasta cierto punto, es Advanced Number Theory de Harvey Cohn.

Sería interesante elaborar algunos ejemplos más para ver cómo son las diferentes clases de similitud de los ideales de celosía, especialmente en los casos en que el número de clase es mayor que 2. ¿Es la estructura del grupo de clases ideales de alguna manera visible en cómo se relacionan las clases de similitud?

Answer 2

Creo que mostrar los entramados $(1, \sqrt{-5})$ et $(2, 1+\sqrt{-5})$ es una buena idea. Como dice Felipe Voloch, no todos los entramados son ideales, pero el hecho de que estos entramados sean ideales se puede demostrar visualmente: Sólo hay que comprobar que $\sqrt{-5} I \subset I$ y, por supuesto, la multiplicación por $\sqrt{-5}$ significa la multiplicación por $\sqrt{5}$ y la rotación por $\pi/2$ . Y es geométricamente obvio que $(2, 1+\sqrt{-5})$ no es principal -- no tiene un dominio fundamental rectangular. (Se puede contrastar con $(2, 1+\sqrt{-1})$ (lo que es principal).

Más allá de eso, si vas a hablar de formas reducidas, podrías trazar las raíces de $a z^2+bz+c=0$ para todas las formas reducidas de algún discriminante y mostrar cómo se encuentran en el dominio fundamental. Por ejemplo, aquí están las $23$ formas reducidas de discriminante $-647$ (con los ejes real e imaginario transpuestos para que encajen bien en la página).

Si quieres jugar con este ejemplo, aquí tienes los coeficientes en $(a,b,c)$ formulario

{{12, 5, 14}, {12, -5, 14}, {13, 9, 14}, {13, -9, 14}, {12, 11, 16}, {12, -11, 16}, {9, 1, 18}, {9, -1, 18}, {8, 5, 21}, {8, -5, 21}, {7, 5, 24}, {7, -5, 24}, {6, 1, 27}, {6, -1, 27}, {6, 5, 28}, {6, -5, 28}, {4, 3, 41}, {4, -3, 41}, {3, 1, 54}, {3, -1, 54}, {2, 1, 81}, {2, -1, 81}, {1, 1, 162}}