No residual finito de la matriz de grupos

Question

Por Malcev del teorema, cada finitely generado lineal grupo es residual finito (RF). Por otro lado, decir, el grupo de los números racionales es lineal, pero no es residual finito. Por lo tanto, uno tiene que imponer algunas restricciones lineales grupos para evitar este ejemplo. Discreto suena como una hipótesis razonable. Es un bonito y sencillo ejercicio para demostrar que cada subgrupo discreto de $PSL(2, {\mathbb R})$ es residual finito.

Pregunta 1. (Esta pregunta fue la de Fanny Kassel) hay no-RF subgrupos discretos de $PSL(2, {\mathbb C})$?

Por otro lado, casi seguramente, no son simples discreto infinito subgrupos $\Gamma$ de la fila 1 de la Mentira de los grupos. (Tome un alto poder de un hiperbólico elemento en $\Gamma$, entonces su normal cierre en $\Gamma$ debe tener infinitas índice en $\Gamma$.) Este argumento falla sin embargo, en el rango más alto debido a las Margulis' normal subgrupos teorema de mayor rango de celosías.

Pregunta 2. Hay infinitas discreta sencilla subgrupos de $SL(n, {\mathbb R})$?

Es difícil imaginar que este tipo de cosas podría existir, pero no veo la forma de la regla de fuera...

Answer 1

La respuesta a la Pregunta 1 es afirmativa.

Para cada uno de los prime $p>2$, tomar el von Dyck grupo $D(p,p,\infty)$, generado por dos rotaciones de orden $p$ cuyo producto es una parabólica $q_p$. Estos grupos se encuentran en $PSL(2,\mathbb{R})< PSL(2,\mathbb{C})$. Podemos normalizar la parabólica elemento en cada uno de estos a $q_p: z\mapsto z+1$. Para cada una de las $p$, podemos conjugar $D(p,p,\infty)$ por un elemento parabólico $\alpha_p: z\mapsto z+ir(p)$ donde $r(p)>0$ es alguna secuencia elegida para crecer lo suficientemente rápido como para que el grupo resultante $\Gamma=\langle \alpha_p^{-1} D(p,p,\infty) \alpha_p, p\ prime \rangle$ es isomorfo a la infinita abstracto amalgamado producto $D(3,3,\infty) \ast_{q_3=q_5} D(5,5,\infty) \ast_{q_5=q_7} D(7,7,\infty) \ast \cdots$. Prueba de ello es el uso de la Klein combinación teorema.

A ver que $\Gamma$ no es residual finito, podemos ver que $q_3$ está contenida en el núcleo de cualquier homomorphism $\varphi:\Gamma \to K$ donde $K$ es finito. Elija $p> |K|$,, a continuación,$\varphi_{|D(p,p,\infty)}=Id$, ya que cualquier elemento de orden $p$ debe ser enviada a la identidad. Por lo $q_p$ debe estar en el núcleo, sino $q_p=q_3$ de la amalgamado con la estructura del producto, por lo $\varphi(q_3)=1$.

Con un poco más de cuidado (por ejemplo, la elección de $D(p_i,q_i,\infty)$ donde $p_i,q_i$ son coprime primos $\to \infty$ as $i\to \infty$), se puede garantizar que el grupo no tiene finito de coeficientes.

Answer 2

La respuesta a la pregunta 2 no [modificar :] cuando el grupo es finitely generado. Se sigue de Malceev del resultado. En el caso de finitely presentado, aquí es una prueba simple.

Prueba : Supongamos $G$ ser un grupo definido por un número finito $n$ de los generadores y de un número finito de relaciones.

Deje $k$ ser un campo. Escoger un elemento $g$ en $G$.

El conjunto de morfismos $\varphi:G\to GL_m(k)$ tal que $\varphi(g)\ne 1$ puede ser visto como una subvariedad algebraica de $M_m(k)^n$. De hecho, esta variedad se define sobre $\mathbf Z$.

Así que si esta variedad admite un punto sobre un campo de $k$ de los característicos $0$, entonces se ha de tener puntos sobre una infinidad de campos finitos.

Por lo tanto, si el grupo es simple e infinito, en la variedad está vacía.