La motivación relativa de los sistemas: ¿por qué debe uno trabajar con esquemas más de un anillado topos?

Question

Recientemente, he estado tratando de aprender más acerca de la relación de los esquemas. Estos fueron desarrollados en M. Hakim la tesis de Topos annelés et schémas relatifs bajo Grothendieck orientación y aparecen en muchas de las obras posteriores de la Grothendieck de la escuela, tales como Berthelot del Cohomologie Cristalino des Esquemas de Caracteristique $p>0$ o Illusie del Complejo Cotangente et Déformations I et II.

Pregunta I. ¿cuáles son algunas de las instancias en que el trabajo en el pleno de la generalidad de un anillado topos da uno de los instrumentos más potentes de sólo trabajar con $S$-esquemas?

Un ejemplo soy consciente de que es en Illusie del Complejo Cotangente de los libros. Como señaló Jonathan Sabio en este MO pregunta, trabajando con los anillos de topoi en esta configuración permite hacer un estudio más interesante deformaciones.

He oído que un moderno ejemplo podría ser el Falting topos, que aparece en Abbes–Gros–Tsuji el libro de La p-ádico Simpson Correspondencia. (Yo no entiendo muy bien este ejemplo, sin embargo.)

Answer 1

Los comentarios a su pregunta discutir la variación de la relación de los esquemas de más de un topos, vs relativa de los esquemas más de un sitio. Pero parece que su pregunta se sitúa en el nivel más básico de la relevancia de la relación de los esquemas a través de algo más que un esquema.

En Grothendieck de la filosofía, un pariente esquema de $f\colon X\to S$ funciona como una familia de esquemas $X_s$ (para $s\in S$) parametrizada por la base de la $S$, que es un esquema. Ambos $X$ e $S$ son los esquemas, y $f$ es una de morfismos de esquemas (posiblemente con propiedades adicionales, como ser plana, adecuada, finito, étale, liso, etc.)

Hay casos en que uno quiere considerar a las familias de los esquemas, que son parametrizados por algo más, como un (complejo, Berkovich, Huber...) analítica en el espacio. Por ejemplo, para la formulación de GAGA-tipo de teoremas: ¿qué es lo complejo de la analítica de las familias de complejo de variedades en un determinado espacio proyectivo parecer, cuando el conjunto de parámetros es un disco abierto, dicen.

En la mayoría de los casos, esos espacios se caracteriza esencialmente por los anillos (por ejemplo, local, anillos, anillos de funciones de más de una compacta, affinoid subespacio) y, a veces, el estudio anterior se puede reducir al estudio de la relación de los esquemas más de estos anillos. Esta técnica es utilizada sistemáticamente en nonarchimedean la geometría, por ejemplo.

Sin embargo, podría ser interesante tener en virtud de la disposición de una teoría completa de la relación de los esquemas más bases. Un rodeada de topos, Monique Hakim la teoría puede abarcar todas las situaciones anteriores.

En cualquier caso, dicha teoría no probar el básico (pero difícil), los resultados de álgebra conmutativa que es probable que se necesiten. En nonarchimedean geometría, un poco de trabajo es necesario, por ejemplo, para comparar el esquema de $\mathop{\rm Spec}(A)$ y el affinoid espacio de $\mathscr M(A)$, cuando se $A$ es un affinoid álgebra, y de manera similar a un pariente de la familia $X\to \mathop{\rm Spec}(A)$ y su analytification $X^{\mathrm {an}}\to \mathscr M(A)$.