Nivel de dificultad del libro de Courant

Question

Actualmente estoy estudiando Introducción al Cálculo y al Análisis, de Richard Courant y Fritz John. Me gustaría comparar el libro de Courant con el de Apostol y Spivak en cuanto a la dificultad de los problemas planteados. Después de leer ese libro, ¿debería decantarme por uno de los dos anteriores o debería estudiar algo más como Rudin? Mi objetivo es ser riguroso y también hábil en la resolución de problemas.

Answer 1

Creo que el libro de Courant y John es el más rico de los tres libros de texto que mencionas: contiene esencialmente los otros dos.
Spivak es el más riguroso (y es muy, muy estético) pero creo que si quieres rigor, sería aburrido aplicarlo al material que ya conoces: mejor empezar a aprender análisis más avanzados.

1. Rudin es, por supuesto, bueno pero un poco seco.

2. John y Barbara Hubbard escribieron un libro , Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales: Un enfoque unificado cuyo centro de gravedad es la materia tradicionalmente llamada "cálculo de varias variables".
   Es probablemente el mejor libro de esa categoría, por el rigor y la profundidad de la presentación, su modernidad (todo hecho en el lenguaje de las variedades y las formas diferenciales), la riqueza del material presentado (incluyendo el álgebra lineal y la integración) y, por último, las interesantes viñetas (en su mayoría históricas) en los márgenes.
   En el texto se hacen muchos y muy fáciles cálculos; además, los ejercicios están cuidadosamente pensados, partiendo de cálculos triviales y apuntando a resultados más difíciles, provistos de pistas.

3. Lang escribió un impresionante libro , Análisis real y funcional que contiene una increíble cantidad de matemáticas en menos de 600 páginas.
   Como siempre con Lang su forte no está en los cálculos explícitos y prácticos, pero el libro es una síntesis sorprendente del análisis básico: se le introducirá en la topología, el análisis funcional, la teoría de la integración ( en $\mathbb R^n$ pero también en espacios localmente compactos), colectores, formas diferenciales,...
   Y el libro se beneficia de la vasta cultura de Lang: ¡debe ser el único libro de texto que explica el papel que podría desempeñar la resolución de singularidades de Hironaka (uno de los teoremas más difíciles de la geometría algebraica) en el enunciado del teorema de Stokes!

2 1/2. Como paso previo a la 3), se podría utilizar la versión más elemental de Lang Análisis de la licenciatura que podría considerarse una revisión de Courant-John en un lenguaje más moderno, y una preparación ideal para el más ambicioso 3).

Answer 2

Conozco los tres libros, aunque nunca los he leído ni enseñado en su totalidad. Para mí, el libro de Spivak es más divertido para sumergirse de vez en cuando, al menos si ya se conoce el material básico. De hecho, los ejercicios de Spivak son un lugar excelente para buscar si se quiere un tema complementario de matemáticas puras o un proyecto para los estudiantes cuando se enseña el cálculo. La redacción de Spivak es más enérgica y el diseño de las páginas (imágenes, barras laterales, etc.) es mucho más atractivo. Un posible aspecto negativo del libro de Spivak es que prácticamente no hay aplicaciones de física o ingeniería.

El libro de Courant es, con mucho, el mejor para las aplicaciones de la física y los temas de las curvas planas, y he hecho uso de pequeñas partes seleccionadas de él muchas veces cuando he enseñado cálculo (por ejemplo, las transformaciones de Lorentz como rotaciones imaginarias, la notación grande "Oh" y pequeña "Oh", el panorama general de cómo integrar funciones racionales, la $u = \tan \frac{\theta}{2}$ sustitución, etc.). En general, los problemas del libro de Courant son mucho más difíciles que los de los otros dos libros, y esto podría causar alguna dificultad al utilizar el libro de Courant para el autoaprendizaje. Por otro lado, los problemas del libro de Courant están menos "entrelazados" con la exposición del libro y, por tanto, muchos de ellos pueden saltarse sin que supongan un gran obstáculo para la lectura del texto.

El libro de Apostol es probablemente el mejor de los tres libros para un estudiante de matemáticas fuerte que comienza a estudiar el cálculo. Apostol es más seco que Spivak o Courant, pero creo que funcionaría mejor como texto de clase que Spivak o Courant. Recomendaría Apostol incluso con más fuerza que los otros dos libros en el caso de alguien que estudie cálculo por su cuenta. [Estoy seguro de que habrá diferentes opiniones al respecto, pero si sirve de algo, lo digo como alguien que nunca ha tomado un curso de cálculo (en la escuela secundaria o en la universidad), sino que aprendió el material de forma autodidacta a partir de un texto (Edwin Joseph Purcell's 1968 Cálculo con geometría analítica que era el único libro de cálculo en la biblioteca pública de nuestro condado).

Answer 3

Tengo Courant, Apostol y Spivak, y la diferencia de dificultad es insignificante entre ellos. Podrías ir directamente a Rudin, la dificultad podría diferir algo pero no lo suficiente como para disuadirte de acercarte a Rudin. Personalmente he pasado por Apostol, y al compararlo con Courant veo muchas de las mismas preguntas en las secciones de ejercicios.

Pienso, en el futuro, pasar también por Courant y Spivak. Quiero un conocimiento muy profundo y exhaustivo del Cálculo en particular, y matemáticos más experimentados que yo han sugerido que la mejor manera de conseguirlo es repasar el material de muchas maneras diferentes.

Personalmente, creo que no basta con leer un solo libro para que los conocimientos se asienten en mí al nivel que deseo. Sin embargo, seguiré avanzando, como te sugiero que hagas tú también; es necesario un cierto impulso hacia adelante para mantener el interés fresco y la participación activa del cerebro. Creo que se aburriría si, inmediatamente después de leer Courant, intentara leer Spivak o Apostol. Demasiado es lo mismo, y tu cerebro se "desconectaría" mientras lees y haces los ejercicios. Es mejor dejar pasar un tiempo, leer otros libros (como Rudin) y volver a un enfoque diferente en el futuro.

Answer 4

En cuanto a la belleza de la escritura y la profundidad de la comprensión de la estructura matemática del cálculo básico, nada supera a Spivak. Lamentablemente, la falta de aplicaciones -no sólo a la física y la ingeniería, sino a cualquier otra materia- es realmente su talón de Aquiles para utilizarlo como texto para un aprendizaje de alto nivel del cálculo. De lo contrario, sería la opción canónica frente a todos los demás. Courant/John es casi tan bonito y tiene una legión de aplicaciones y ejemplos maravillosos. Desgraciadamente, como ha comentado Dave más arriba, sus ejercicios son muy extraños, difíciles y no hay ni de lejos suficientes. Apostol está escrito por uno de los maestros modernos del análisis clásico y es probablemente el más completo de los 3 libros de texto. No sólo contiene una presentación cuidadosa y muy rigurosa tanto de la teoría como de muchas de las aplicaciones del cálculo, sino que también tiene muchas notas históricas maravillosas que ilustran las fuentes del material, así como una presentación autónoma del álgebra lineal. En resumen, los tres se han ganado con razón su condición de clásicos y todos tienen sus ventajas y desventajas como libros de texto para el estudiante con talento. Si me apuntaran con una pistola a la cabeza y tuviera que elegir sólo uno, probablemente me quedaría con Apostol, simplemente porque es el más completo de los tres y, como resultado, es el más flexible. Incluso mejor sería Spivak complementado por Apostol. Por supuesto, todo esto es para el cálculo de una sola variable. Para las funciones de varias variables, eso es un caballo de otro garaje y usted puede encontrar muchas buenas sugerencias para los libros de texto sobre eso en Buen libro de introducción al Cálculo sobre Múltiples .

Answer 5

El mejor libro es el de Courant-John porque contiene todos los temas asociados a los cursos de cálculo tradicionales tal y como se entendía en Europa y Rusia. El segundo lugar es para el cálculo de Apostol, que es un curso de cálculo típico basado en el álgebra lineal, tal y como se entiende en Estados Unidos. El tercer lugar es para el cálculo de Spivak, este curso se limita al cálculo unidimensional. Si quieres comprar uno, compra el de Apostol.