¿Por qué tengo la respuesta equivocada cuando me factor de una $i$ fuera de el integrando?

Question

Considere la siguiente integral definida: $$I=\int^{0}_{-1}x\sqrt{-x}dx \tag{1}$$

Con la sustitución de $x=-u$, conseguí $I=-\frac{2}{5}$ (lo cual parece correcto).

Pero luego trató de un método diferente por primera sacando $\sqrt{-1}=i$ desde el integrando: $$I=i\int^{0}_{-1}x\sqrt{x}dx=\frac{2i}{5}[x^{\frac{5}{2}}]^{0}_{-1}=\frac{2i}{5}{(0-(\sqrt{-1})^5})=-\frac{2i^6}{5}=+\frac{2}{5} \tag{2}$$ lo cual es claramente incorrecto.

Entiendo que $x\sqrt{x}$ no está definido aún dentro de $(-1,0)$, pero ¿por qué no podemos utilizar el mismo en el imaginario enfoque' ($\sqrt{-1}=i$) para el tratamiento de este indefinido parte de la función (es decir, la tercera igualdad en $(2)$).

No puedo encontrar una mejor manera de expresar mi pregunta por lo que puede parecer un galimatías, pero ¿por qué es $(2)$ sólo válida?

Answer 1

Tenía dificultad para la comprensión de la respuesta anterior, asi que voy a ofrecer una versión ampliada.

Tomando el primer paso, escribe $\sqrt{-x} = i\sqrt{x}$. Ahora a probarlo con $x=-1$. Se da una contradicción, $$1 = \sqrt{1} = i \sqrt{-1} = i^2 = -1.$$

Realmente no se fija si se utiliza la alternativa de firmar por $\sqrt{-1}$ porque usted obtener $$ 1 = \sqrt{1} = -i \sqrt{-1} = (-i) \times (-i) = -1 $$

Sólo si se toman señales diferentes para la parte imaginaria en cada cuadrado de la raíz se obtiene la respuesta que deseas.

Detrás de esto es un punto general sobre la complejidad de las funciones con valores. Por convención real $ x \geqslant 0$, $\sqrt{x}$ es siempre el positivo de la raíz. Cuando $x < 0$ no hay ninguna convención natural y $\sqrt{x} $ podría ser uno de $\pm i\sqrt{-x}$. La dificultad surge porque no puede ser una constante de elección para la raíz de un número negativo que al mismo tiempo satisface la deseable identidad $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$. Eso es porque en el complejo análisis de la raíz cuadrada $\sqrt{z}$ tiene un punto de ramificación (que es, es maleducado) a $z=0$ y no puede ser extendido a un bien comportado de la función en todo el plano complejo.

Answer 2

Fundamentalmente, su error equivale a lo siguiente (mis)cálculo:

$$1=\sqrt1=\sqrt{-(-1)}=i\sqrt{-1}=i^2\sqrt1=-\sqrt1=-1$$

Es sólo que el segundo signo menos no aparece en lo que estás haciendo hasta después de que la primera se convierte en un $i$. I. e., se convierten $\sqrt{-x}$ a $i\sqrt x$ antes de hacer la integración, y sólo más tarde sustituido el límite inferior $x=-1$.

Answer 3

Si $x\in[-1,\,0)$ entonces $\Im\sqrt{x}=\sqrt{-x}$, lo $\sqrt{-x}=\sqrt{x}/i=-i\sqrt{x}$.