Valor propio más pequeño de una matriz aleatoria complicada

Question

Mientras experimentaba con funciones definidas positivas, llegué a la siguiente conclusión:

Sea $n$ sea un número entero positivo y $x_1,\ldots,x_n$ ser muestreada a partir de una gaussiana de media cero y varianza unitaria. Consideremos la matriz (positiva-definida) $$M_{ij}=\frac{1}{1+|x_i-x_j|}.$$ Ahora deseo saber:

¿Cómo puedo obtener una estimación para el valor propio más pequeño $\lambda_n$ de $M$ ?

Experimentos preliminares (véase el gráfico; eje x: $n$ eje y: $\lambda_n$ ) sugieren que $\lambda_n \approx 1/n^2$ ¿pero cómo puedo probarlo o tal vez un resultado más exacto?

Answer 1

Creo que puedo obtener un límite superior de $O(1/n^2)$ exhibiendo un vector $v$ de magnitud comparable a $1$ que se asigna a un vector de magnitud $O(1/n^2)$ . La idea básica es explotar la paradoja del cumpleaños para encontrar (con alta probabilidad) dos índices $i \neq i'$ tal que $x_i-x_{i'} = O(1/n^2)$ . También debería ser posible encontrar otro índice adicional $i''$ tal que $x_{i''} = x_i + O(1/n)$ .

Ahora mira el $i^{th}$ y $(i')^{th}$ filas, que tienen componentes $1/(1+|x_i-x_j|)$ y $1/(1+|x_{i'}-x_j|)$ . Estas filas se diferencian por $O(n^{-2})$ en cada coeficiente. Esto ya da un límite superior de $O(n^{-3/2})$ para el valor propio más pequeño, pero se puede hacer mejor utilizando la expansión de Taylor para observar que la diferencia entre los dos componentes es $(x_i-x_{i'}) \hbox{sgn}( x_i-x_j ) / (1 + |x_i-x_j|)^2 + O(n^{-4})$ excepto cuando $x_j$ está muy cerca de $x_i$ en cuyo punto sólo tenemos el límite bruto de $O(n^{-2})$ . Del mismo modo, la diferencia entre el $i''$ y $i$ filas es algo así como $(x_i-x_{i''}) \hbox{sgn}( x_i-x_j ) / (1 + |x_i-x_j|)^2 + O(n^{-4})$ excepto cuando $x_j$ está demasiado cerca de $x_i$ . Por tanto, podemos utilizar un múltiplo de la segunda diferencia para anular en su mayor parte la primera diferencia, y acabar con una combinación lineal de tres filas en la que la mayoría de las entradas tienen tamaño $O(n^{-4})$ y sólo unos $O(1)$ entradas tienen tamaño $O(n^{-2})$ . Esto parece dar un límite superior de $O(n^{-2})$ para el menor valor propio (o menor valor singular), aunque no he comprobado todos los detalles.

Obtener un límite inferior equivalente es más complicado. Puede que haya que pasar a una representación de Fourier de la matriz, ya que así se captaría más fácilmente la definición positiva de la matriz (como sugiere el teorema de Bochner).