Vamos a definir algunas coordenadas.
\begin{align*}
A &= (-1,0) & P &= C+a(B-C) & C_1 &= (c,r) \\
C &= (1,0) & H &= A+b(P-A) & C_2 &= (d,e) \\
B &= (0,y) &&& C_3 &= (0,f)
\end{align*}
Aquí $C_{1,2,3}$ son los centros de los tres círculos, de arriba abajo. Las coordenadas mencionadas contienen $9$ variables: $a\dots f,r,x,y$. Usted puede expresar la tangentialities basado en estos:
\begin{align*}
AP,C_1: 0 &= -ac^2y+ar^2y-2acr-2acy-2ar+4cr-ay+4r \\
CH,C_1: 0 &= -abc^2y+abr^2y-2abcr+2abcy+2abr+4bcr-aby-4br-4cr+4r \\
AP,C_2: 0 &= -a^2d^2y^2+a^2r^2y^2-2a^2dey-2a^2dy^2-a^2e^2+a^2r^2-2a^2ey\\&\phantom=+4adey-a^2y^2+4ae^2-4ar^2+4aey-4e^2+4r^2 \\
CH,C_2: 0 &= -a^2b^2d^2y^2+a^2b^2r^2y^2-2a^2b^2dey+2a^2b^2dy^2-a^2b^2e^2+a^2b^2r^2\\&\phantom=+2a^2b^2ey+4ab^2dey-a^2b^2y^2+4ab^2e^2-4ab^2r^2-4ab^2ey-4abdey\\&\phantom=-4abe^2-4b^2e^2+4abr^2+4b^2r^2+4abey+8be^2-8br^2-4e^2+4r^2 \\
CB,C_2: 0 &= -d^2y^2+r^2y^2-2dey+2dy^2-e^2+r^2+2ey-y^2\\
AB,C_3: 0 &= r^2y^2-f^2+r^2+2fy-y^2\\
AP,C_3: 0 &= a^2r^2y^2-a^2f^2+a^2r^2-2a^2fy-a^2y^2+4af^2-4ar^2+4afy-4f^2+4r^2
\end{align*}
Hay una ecuación que relaciona la $X$ a estas variables:
$$X^2 = a^2b^2y^2+a^2b^2-4ab^2+4ab+4b^2-8b+4$$
He obtenido estas ecuaciones en la siguiente forma: I homogeneizaron los dos puntos que definen una línea, y se calcula su producto cruzado para representar la línea de unirse a ellos. Yo también expresó los círculos en una manera proyectiva, como simétrica $3\times 3$ matrices que representan la forma cuadrática de una sección cónica en coordenadas homogéneas. Tomando el complemento de dicha matriz obtuve una descripción de la doble cónico, en términos de la tangente a las líneas en lugar de incidente puntos. Por lo que multiplica dicha matriz con los vectores de la línea de ambos lados, vamos a mi CAS encargamos de todos los detalles sangrientos y pega el resultado anterior. La última ecuación es simplemente la forma expandida de $X^2=\langle C-H,C-H\rangle$.
También es bueno tener un aproximado de la solución en la mano. He construido un uso de la Cenicienta, con un pequeño script para ajustar un parámetro mediante la interseccion. He obtenido una configuración con
\begin{align*}
a&\approx\phantom+0.60827488013287\\
b&\approx\phantom+0.5392413189553\\
c&\approx-0.199319828889346\\
d&\approx\phantom+0.284316034733135\\
e&\approx\phantom+0.803339370375978\\
f&\approx\phantom+1.443050448525532\\
r&\approx\phantom+0.327733253018358\\
X&\approx\phantom+1.451198842282192\\
y&\approx\phantom+2.25
\end{align*}
![Example configuration]()
Ahora uno puede tratar de eliminar las variables $a$ a través de $f$ $y$ utilizando el estándar de eliminación técnicas. He utilizado resultantes, y además, después de cada cálculo resultante yo factorizados el resultado, y se mantiene sólo el único factor que casi desapareció de mi aproximada datos de ejemplo. Al final, obtuve la solución
$$r^6 + 3r^4X^2 + r^2X^4 + 4r^4X - 2r^2X^3 + 5r^4 - 8r^2X^2 - X^4 - 4r^2X + 4X^3 + 4r^2 - 4X = 0$$
Obviamente habría ben imposible seguir este enfoque, sin el apoyo masivo de la CAS, Salvia en mi caso.
El resultado no es homogéneo, aunque, lo que significa que se hace referencia implícita al hecho de que me fijo, la longitud de la arista $AC$$2$. A mi modo de ver, el problema no se puede responder sin saber la longitud de uno de los bordes, o la relación de $AB/AC$. Hay una falta de información en la pregunta?
La fijación de una duración aparece un poco patán. Si tenemos que introducir un parámetro adicional, sería mejor elegir una relación adimensional para esto. La relación de $AB/AC$ mencionó anteriormente llevaría a un poco más de expresión, por lo que prefiero usar $s$ para denotar la relación entre la altura y la longitud de la base del triángulo. $s$ significa "forma", ya que la relación sólo depende de la forma del triángulo, no su tamaño. En las coordenadas mencionadas, $s$$y/2$. El uso de este parámetro, y siguiendo el mismo método descrito anteriormente, se acabaría con la condición de
$$ 16s^5r^{10} - (16s^5 + 28s^3)r^8X^2 - (8s^4 + 4s^2)r^7X^3 + (4s^5 + s^3 + 12s)r^6X^4 + (12s^4 + 11s^2 + 4)r^5X^5 + (25s^3 + 15s)r^4X^6 - (4s^4 - 10s^2 - 5)r^3X^7 - (11s^3 + s)r^2X^8 - 3s^2rX^9 + s^3X^{10} = 0 $$
Esta condición es homogénea en $r,X$, ya que sus poderes siempre se suman a $10$, como es de esperar, ya que ahora todo es invariante bajo de escala.
Con ángulo derecho
Parece que la declaración original de este problema de la $AP\perp CH$. En mi mundo, esto se traduce a $\langle A-P, C-H\rangle=0$ o
$$a^2by^2 + a^2b - 4ab + 2a + 4b - 4=0$$
Añadir esto a mi sistema de ecuaciones, se puede resolver para todas las variables. Resulta que todas las variables son incluso números racionales:
\begin{align*}
a &= \frac{14}{25} &
b &= \frac{1}{2} &
c &= -\frac{1}{5} \\[2ex]
d &= \frac{7}{25} &
e &= \frac{26}{25} &
f &= 2 \\[2ex]
r &= \frac{2}{5} &
X &= \frac{8}{5} &
y &= \frac{24}{7}
\end{align*}
Puedes verificar que este cumple con todas las ecuaciones se indicó anteriormente. Así que si usted elige su sistema de coordenadas de tal manera que los puntos de $A$ $C$ está en las coordenadas proporcionadas, a continuación, el resto de los puntos se tienen las coordenadas me acaba de decir. Es trivial para leer $X = 4r$ a partir de este. Usted puede notar que para $s=12/7$ la ecuación dada factores anteriores, y $X-4r$ es uno de sus factores.
Si la escala de todo por $175$ incluso obtener coordenadas enteras:
\begin{align*}
A &= (-175,0) & P &= (77,336) & C_1 &= (-35,70) \\
C &= (175,0) & H &= (-49,168) & C_2 &= (49,182) \\
B &= (0,600) &&& C_3 &= (0,350)
\end{align*}
![Right-angled situation with integer coordinates]()
