Puede matemáticas conducen a un resultado que es físicamente insostenible?

Question

Considere algunos conocidos hecho físico, por ejemplo, $\nabla \cdot \mathbf B = 0$ para la inducción magnética $\mathbf B$. Ahora, es posible que un teorema matemático existe, lo que produce una predicción incorrecta?

E. g. un hipotético debidamente comprobada - teorema que dice: "Si $\nabla\cdot\mathbf B=0$ , a continuación, algunas de las nuevas planeta debe estar entre la Tierra y Marte." Si este teorema fue a la derecha, y después de una profunda investigación que estaban seguros de que no hay tal planeta existe una posibilidad obvia es que el anteriormente conocido hecho fue incorrecta, es decir, quizás $\nabla \cdot \mathbf B \neq 0$ bajo algunas condiciones extrañas. Pero es esta la única posibilidad? En otras palabras, es posible que tanto la premisa y el teorema estaban en lo correcto, pero la matemática obtenidos de la predicción no es cierto para la física?

Por favor, tenga en cuenta que he escogido sólo un ejemplo tonto para aclararme acerca de una pregunta con respecto a la relación entre las matemáticas y la física, pero, por supuesto, no es este ejemplo en particular que me interesa. También, no estoy buscando a discutir la existencia de los planetas entre la Tierra y Marte, y, por último, claro que no estoy cuestionando la verdad de la ley de Gauss.

Answer 1

Aquí es un teorema matemático: los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados (es decir, la mitad de un giro completo). Para ser un poco más a fondo, vamos a definir un triángulo: es una figura cerrada que consta de tres líneas rectas, y una línea recta es la línea de la distancia más corta entre dos puntos. Ok, así que tenemos un buen teorema matemático.

Ahora vamos por el mundo y comenzar la medición de los triángulos. Todos ellos tienen los ángulos internos suman 180 grados, con la precisión de nuestros instrumentos, así que estamos tranquilos. Pero luego llegamos a más de los instrumentos de precisión y triángulos más grandes, y algo sucede: los ángulos no son más que sumar a la derecha! Oh no! ¿Qué ha pasado? Es una contradicción? O tal vez nuestras líneas no estaban directamente? Comprobamos que las líneas eran de hecho de la distancia mínima. Finalmente regresamos a nuestro teorema matemático y darse cuenta de que había un supuesto oculto. Se trataba de un supuesto de mentir de una manera sutil a la derecha en el corazón de la geometría y resulta que es una suposición que no necesariamente tiene que mantener. Uno para hacer líneas paralelas, llama al quinto postulado de Euclides. Luego descubrimos una forma más general de hacer de la geometría y podemos hacer sentido de nuestras mediciones de nuevo---el uso de la teoría de la relatividad general y la geometría de los espacios curvos.

Así que, para responder a su pregunta, lo que sucede cuando las observaciones físicas contradice una afirmación matemática en la que, hasta ahora, siempre resultó ser como el de arriba. Lo que sucede es que nos encontramos con la afirmación matemática era cierto en su propio contexto, con los supuestos que las originaron los conceptos que se estaba utilizando, pero que el contexto no es el que se aplica al mundo físico. Así que, hasta ahora al menos, la física nunca ha contradicho las matemáticas, sino que ha demostrado en repetidas ocasiones que ciertas ideas matemáticas que se pensaba aplicar al mundo físico, de hecho, no, o sólo lo hacen en un sentido restringido o en algunos caso límite.

Answer 2

El Banach-Tarski paradoja parece un candidato obvio. Es posible cortar una esfera en finitely-muchas de las piezas, a continuación, pegue de nuevo juntos en dos esferas, cada una idéntica a la original

La matemática es correcta, pero esto obviamente no es posible en el mundo real, entonces, ¿qué está pasando?

Cada prueba matemática se basa en un conjunto de "axiomas", o supuestos. Si la lógica de la prueba de sonido, pero hemos de llegar a algún resultado, que es imposible en el mundo real, eso debe significar que al menos uno de nuestros axiomas no se sostiene en el mundo real. En este caso, es probablemente el axioma del infinito (o posiblemente el axioma de elección).

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Así que para responder a la pregunta de forma explícita, si asumimos algunos ecuación, como $\nabla \cdot B = 0$ sostiene, pero que nos permite demostrar algo que no se mantienen en el mundo real, que necesariamente significa que uno de los supuestos utilizados en la prueba no se sostiene en el mundo real.

El candidato más probable sería la ecuación original, aunque sí podría ser algo más sutil, como "en el paso 12 asumimos la geometría del espacio Euclidiano". Incluso podría ser que las leyes de la (de primer orden) de la lógica no se sostenga en nuestro universo, aunque si ese fuera el caso yo creo que estaríamos en problemas!

Answer 3

Si usted tiene una teoría física, expresada como matemáticas, entonces si, a partir de las premisas de la teoría, demostrar un teorema que, cuando se traduce de nuevo en la física, contradice el experimento, entonces la teoría física que está mal.

Así que no, no es posible que tanto la premisa (la teoría física) y el teorema (una cosa con una correcta prueba en otras palabras) que se derivan de esa premisa es correcta, pero la conclusión es equivocada, y en este caso la premisa (la teoría física) está equivocado.

Answer 4

Hay un montón de ejemplos de esto, especialmente desde el comienzo del siglo 20, cuando la matemática aplicada a la mecánica clásica & termodinámica dieron respuestas incorrectas. Algunos ejemplos:

1) La precesión de que el planeta Mercurio, que se observa a ser mayor que el valor calculado de acuerdo a la teoría de Newton de la gravedad: https://en.wikipedia.org/wiki/Tests_of_general_relativity

2) La estructura de los átomos. De acuerdo con la electrodinámica clásica, los electrones que orbitan el núcleo debe continuamente irradiar la radiación electromagnética, y el colapso en el núcleo, sin embargo, no: https://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model

3) El espectro observado de la radiación del cuerpo negro no coincide con lo que fue predicho por la teoría clásica: https://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law

Answer 5

Muchas expresiones que se puede escribir matemáticamente sin un segundo pensamiento, no tiene sentido físicamente una vez que las dimensiones son consideradas.

Por ejemplo, $x+x^2$ no tiene sentido para una longitud de $x$. Este argumento, a continuación, se extiende a cualquier trascendental función escrita como una serie.

El análisis Dimensional en general pone a fuertes restricciones en expresiones matemáticas, sólo un pequeño subconjunto de ellos también son válidos cuando se estudian en una determinada dimensiones del sistema.

Hay muchos de esos sistemas, no sólo a los más conocidos sistemas tales como el sistema del SI o el viejo CGS, pero también muy oscura sistemas, tales como Huntley dirigido dimensiones o Siano del sistema. Estas considerar dimensiones en diferentes direcciones para ser dimensionalmente diferentes, un interesante efecto secundario de los cuales es que el torque y la energía no tiene las mismas unidades más.

Una aplicación es la Pi de Buckingham teorema, que establece que cualquier ley de la física por escrito en el formulario $f(q_1,...,q_n)$ puede ser escrita como una función de la $k$ adimensional pi-grupos $F(\pi_1,...\pi_k)$, donde $k$ es la dimensión del núcleo se extendió por el $q_i$ argumentos dimensiones.

El Pi de Buckingham teorema puede ser utilizada para obtener números adimensionales que juegan un papel importante en la mecánica de fluidos.

Todos estos argumentos también se traducen al álgebra lineal, donde ponen aún más la restricción en el tipo de operaciones que se consideran física. Esto es algo de una corriente si el oscuro tema de la investigación.