Podemos hacer mejor que "un spinor es algo que se transforma como un spinor"?

Question

Es común que los estudiantes serán introducidos a los tensores como "cosas que transforman como los tensores", es decir, sus componentes deben transformar en una determinada manera cuando hacemos un cambio de coordenadas. Sin embargo, podemos hacer mejor mediante la definición de un tensor como multilineal mapa de $ V\times...\times V\times V^\ast\times ...\times V^\ast\to \mathbb{F} $, donde $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$ (a menudo llevado a ser el espacio de la tangente). La transformación de la ley, a continuación, de la siguiente manera.

Mi comprensión actual de spinors se siente como la primera, dissatisfying definición: son sólo "cosas que transforman como spinors", es decir, son elementos de un espacio vectorial que se transforman de acuerdo a una representación proyectiva de $SO(n)$ que es verdaderamente multi-valor (es decir, no es sólo una representación verdadera de $SO(n)$). Podríamos llamar a esto el "spinor transformación de la ley". Tenga en cuenta que esto es algo que he puesto en "a mano": la manera en que un spinor transforma no es una propiedad de algunos objetos subyacente, sino que se construye en nuestra definición.

Mi pregunta es: podemos definir spinors sin referencia a la manera en que se transforman, tal como lo hicimos para los tensores? ¿Hay algún objeto "subyacente" la definición de spinors en términos de transformación, así como los tensores son "realmente" multilineal mapas?

\begin{align} \text{Tensor Transformation Law}&\to \text{Tensors as multilinear maps}\\ \text{Spinor Transformation Law}&\to \text{??? } \end{align}

Answer 1

El buen análogo formalización de spinors no es a verlos como una especie de las diferentes funciones de los tensores en el mismo subyacente espacio vectorial $V$, pero en lugar de ampliar nuestra idea de la geometría subyacente: Donde los tensores son multilineal funciones en espacios vectoriales, tensores con "spinor" y "vector" las piezas son multilineal de las funciones de super espacios vectoriales $V = V_0\oplus V_1$ donde lo curioso del $V_1$ es un spinorial representación de $\mathrm{Spin}(V_0)$. (nlab llama a estos espacios super-Minkowski spacetimes).

A través de la doble representación, las funciones lineales en $V_1$ heredar una representación de la vuelta del grupo. La (multi)funciones lineales también heredan la súper clasificación (una función lineal que es cero en el curioso del caso es que incluso, y una función lineal que es cero en la parte impar), y puramente incluso estas funciones son comunes los tensores, y puramente impar acogedor son pura spinors.

Tenga en cuenta que todavía nos puso en la vuelta de la representación $V_1$ a mano, por la elección no está determinada por la base del espacio de $V_0$. Esto es, en cierto modo, no es de extrañar - la noción de "spin" y spinor es realmente más que simplemente tener un espacio vectorial: Todos los (pseudo-Riemann) colectores (el modelo de los espacios vectoriales $\mathbb{R}^n$) tienen una noción de los tensores, construido en el tensor de productos de la (co)tangente espacios, pero no todos los colectores han spinors, es decir, la posibilidad de asociar sistemáticamente un spinorial representación a cada punto de la variedad. Por simple espacios vectoriales la elección de una noción de giro no está obstruido, pero todavía es una opción.

Que el supergeometric enfoque es, sin embargo, la "correcta" (o al menos útil) se ve que cuando volvemos a la teoría del campo, donde uno debe representar fermionic/spinorial grados de libertad por anti-desplazamientos variables, y el $\mathbb{Z}/2$-calificación de la base del espacio vectorial, a continuación, nos permite hacer esto, simplemente declarando que el extraño componentes anti-commute.

Answer 2

Creo que usted está pidiendo la intuición en la dirección equivocada aquí.

Supongamos que alguien que ya está familiarizado con los vectores, y quiere entender los tensores. Que es posible, porque el tensor de representaciones se construyen fuera de los vectores, es decir, el rango de $2$ tensor de la representación, es simplemente el producto de dos vectores representaciones, o lo que es equivalente a un rango de $2$ tensor es un bilineal mapa de dos vectores.

Pero es precisamente el opuesto con spinors. Spinors no se construyen fuera de vectores, en lugar de los vectores que se construye fuera de spinors! Spinors son los más simples posibles representaciones del grupo de Lorentz, y el vector de representación es el producto de un zurdo spinor y un diestro spinor (o, equivalentemente, un vector es un bilineal mapa en dos spinors).

En otras palabras, preguntando lo que subyace spinors es la pregunta equivocada. Spinors son la estructura subyacente a todo lo que ya sabía. Usted necesita para reconstruir su entendimiento con el spinors en el fondo, no en la parte superior.

Esto sucede mucho en la física: no se puede pedir para un uso intuitivo de la derivación de una cosa fundamental a partir de una composición cosa. Lo que estás pidiendo es análoga a pedir que los átomos de un protón es de, o cuántos protones están dentro de un quark, o cómo construir un vector de tensores. (Dicho sea de paso, aprender más elegante de las matemáticas, como se sugiere en las otras respuestas, nunca respuestas a esas preguntas, porque estas cuestiones intrínsecamente no tengo respuestas. Lo que realmente sucede es que en el proceso de aprendizaje de las matemáticas, que familiarizarse con estas nuevas primarias de los objetos. Una vez que usted puede trabajar con ellos de forma fluida, deje de preocuparse por explicar en términos de las cosas que usted sabía antes, porque de comprender en sus propios términos.)

Answer 3

Sí. Spinors son los elementos de la representación de los espacios de objetos conocidos como álgebras de Clifford.

Un álgebra de Clifford es básicamente un espacio vectorial se convirtió en un álgebra a través de los productos de la regla

$$ v\cdot w=2 g(v,w)\Bbb{1} $$

donde $g$ es de alguna métrica en el espacio vectorial en sí mismo. El más famoso de álgebra de Clifford es la de Dirac álgebra, es decir, el álgebra de las matrices de Dirac (para que el espacio vectorial es $\Bbb{R}^{4}$ y la métrica es la métrica de Minkowski). Si en lugar de utilizar $\Bbb{R}^{3}$ como la base del espacio vectorial, con la métrica Euclidiana, se puede obtener la Pauli álgebra.

Una vez que usted tiene un álgebra de Clifford usted puede buscar sus representaciones (o "módulos", como son conocidos en la literatura). Los elementos de estas representaciones son el spinors. El spinors correspondiente a $\Bbb{R}^{4}$ con la métrica de Minkowski son de Dirac spinors, mientras que los correspondientes a $\Bbb{R}^{3}$ con la métrica Euclidiana son los spinors de $SO(3)$/$SU(2)$.

Answer 4

Bien, usted debe buscar en (irreductible) las representaciones del grupo de Lorentz. Básicamente, usted desea que todos los ingredientes para tener un correcto y consistente transformaciones en el grupo de Lorentz.

El Weyl y Dirac spinors son los objetos más básicos satisfacer ese requisito.

A partir de los que se puede construir vectores como (multiplicativo) combos de dos spinors. Es por eso que en los textos antiguos a veces se ve spinors se denomina 'la mitad-vectores". También, en este contexto, sólo utilizan el "medio" de la transformación de un vector, es decir, una cara vs dos caras.

En ese sentido, su Spinors->Vectores->Tensores.

Si usted se siente de lujo, usted puede también mirar las cosas en el contexto del Álgebra Geométrica o el espacio-Tiempo de Álgebra volviendo a David Hestenes. Aquí usted puede tener spinors libre de cualquier representación de la matriz.

Otras dos referencias con diferentes perspectivas también vienen a la mente: Spinors y el espacio-tiempo (Penrose) y la GRAVITACIÓN (Misner Thorne Wheeler)

El tema común de todos los enfoques es, sin embargo, la especial, la transformación fundamental de las propiedades que tienen. Usted no puede conseguir alrededor de eso.

Answer 5

Yo estoy tomando el álgebra de Clifford ruta como se ha señalado por los no-user38741 y Giorgio Comitini, pero voy a tratar de justificar de forma intuitiva cómo terminan allí y cómo la spinor transformación ley parece inevitable. Así que voy a empezar con álgebra geométrica, que es simplemente otro nombre para el álgebra de Clifford cuando se utiliza en un contexto de la física, y los vectores son considerados como elementos del álgebra de sí mismos (es decir, no estamos imponiendo una matriz independiente de álgebra). Así que tome $\mathbb{R}^{n, m}$ con producto interior $<\cdot,\cdot>$, y definir la geometría álgebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{n, m})$ como el más libre de álgebra asociativa más de $\mathbb{R}^{n, m}$ que satisface

\begin{equation} v^2 = <v, v>, \end{equation} donde la plaza es, por supuesto, el álgebra de la multiplicación. Vamos a llamar a la multiplicación en este algebra geométrica del producto.

Hay que reconocer que esto introduce otro espacio, pero que es muy natural: los elementos de la geometría álgebra puede ser interpretado a consistir de los escalares, vectores de $\mathbb{R}^{n, m}$, el bivectors $u\wedge v$ donde $u$ e $v$ son vectores y $u\wedge v := \frac{1}{2}(uv - vu)$, la 3-vectores $u\wedge v\wedge w$ y así sucesivamente, hasta (n + m) -vectores. El $n$ -vectores puede ser interpretada como dirigida área/volumen/n-elementos de volumen. Para un caprichoso introducción, consulte "números Imaginarios no son reales", o como una introducción detallada de cualquiera de Hestenes' "álgebra de Clifford Geométricos de Cálculo" o Doran y Lasenby del Álgebra Geométrica de los Físicos.

Ahora, resulta que un giro del vector de $v$ en el plano definido por una simple bivector $\omega$ por $|\omega|$ radianes (donde el valor absoluto es $\sqrt{-\omega^2}$, ya que el cuadrado de $\omega$ es negativa) puede ser expresado en álgebra geométrica (GA) como

\begin{equation} v \mapsto \exp(\omega) v \exp(-\omega), \end{equation} donde la exponencial se define por la forma habitual de alimentación de la serie, con la multiplicación de ser el geométrica del producto, y un simple bivector es un bivector que puede ser escrito como el producto exterior $a \wedge b$ para algunos vectores $a, b$. Una rotación general es el dado por la misma fórmula, pero con el $\omega$ no están necesariamente simple (es decir, puede ser necesario una suma de varios sencillos bivectors). El resultado de la exponencial es, a continuación, en el que incluso subalgebra, es decir, construido a partir de los objetos que se pueden expresar como una suma de productos de un número de vector de factores. Llamamos el resultado de la exponenciación un rotor, y a menudo denotan $R = \exp(\omega)$. A continuación, el objeto en el lado derecho de la transformación también puede ser escrito como $\tilde{R}$, donde la tilde indica la reversión, que simplemente significa tomar cada factor en una geométrica del producto y de invertir su orden. Además, $R \tilde{R} = 1$ cuando $R$ es un rotor.

El primer atisbo de un spinor-al igual que la transformación de la ley aparece: en general, podemos girar todos los elementos del espacio por las dos caras de la rotación de la ley anterior, y nada cambia. Sin embargo, si tratamos de representar rotaciones por el rotor $\exp(\omega)$, entonces la composición de rotaciones es dado por $\exp(\omega_1) \exp(\omega_2)$, que es también un rotor.

Ahora, vamos a palo específicamente a $\mathbb{R}^{1, 3}$. Entonces podemos escribir la libre ecuación de Dirac como \begin{equation} \nabla \psi I_3 + m \psi = 0, \end{equation} donde $\nabla$ es el vector derivado $\nabla = e^\mu \partial_\mu$, y el $e^\mu$ son vectores de la base que actúa a través de la geometría del producto (de modo que $\nabla$ sí es algebraicamente un vector). El campo de Dirac $\psi$ toma valores en el subalgebra de la geometría álgebra. $I_3$ es de tres vectores que aparece recogida preferente de la rebanada del espacio-tiempo, y por lo tanto romper Lorenz invariancia. Sin embargo, considerar otra opción dada por $I'_3 = R I_3 \tilde{R}$. A continuación, la correspondiente nueva ecuación de Dirac es

\begin{equation} \nabla \psi' R I_3 \tilde{R}+ m \psi' = 0. \end{equation} Ahora si $\psi$ resuelve el original de la ecuación de Dirac, entonces claramente $\psi' = \psi \tilde{R}$ resuelve esta nueva ecuación con $I_3'$. En otras palabras, cuando el objeto de $I_3$ transforma como un (tres)-vector bajo rotaciones, a continuación, $\psi$ transforma como un spinor, y la transformación de la ley ha aparecido.

Haga nota de que la física de las predicciones de la teoría depende sólo de la Dirac bilinears, que en esta lengua puede ser escrito de forma análoga a \begin{equation} \psi I_3 \tilde{\psi}, \end{equation} y es que cuando se $I_3$ se transforma en tres vectores y $\psi$ como spinor, la física predicciones permanecen sin cambios. En otras palabras, la spinor transformación de la ley es necesaria para mantener el físico predicciones de la teoría independiente de la elección de la orientación del elemento de volumen $I_3$.

De hecho, hay una interpretación natural del objeto $\psi$ como producto de un rotor, de escala y una transformación entre escalares y pseudoscalars en $\mathbb{R}^{1,3}$. De esta manera, el spinor transformación ley aparece de forma natural, como la composición de los rotores (o rotor-como objetos). Por supuesto, ya que no hay tratamiento de la teoría cuántica de campos en el álgebra geométrica del lenguaje, no es claro hasta qué punto o en serio, esto puede ser tomado como una interpretación de la física ecuación de Dirac, pero, no obstante, que al menos proporciona un ejemplo donde spinors aparecen de forma natural, sin manualmente la imposición de la transformación de la ley. Más bien, se trata de transformaciones de las soluciones de la ecuación de Dirac cuando la elección de la constante de $I_3$ se transforma por las rotaciones.

Estoy seguro de que este flash-introducción al tema, deja muchas preguntas sin responder y puede ser un poco confuso, pero si me despertara su interés, le sugiero que siga algunos de los enlaces aquí y continuar de esa manera.