Hay un gerbe Beilinson-Bernstein Localización?

Question

Supongamos que se desea construir una representación de un afín algebraica de grupo $G$, usted puede comenzar con un $G$-equivariant línea bundle $\mathcal{L}$ en $G$-colector $X$ y, a continuación, considere global de las secciones, o cohomologies, por ejemplo, $H^*(X, \mathcal{L})$ se convierte en un $G$-módulo.

Supongamos ahora que se desea construir una representación de $G$ en categoría $\mathcal{C}$ (el tipo de representaciones estudiado en el apéndice a de [1] o en el capítulo 7 de [2]). Entonces usted puede considerar un $G$-equivariant gerbe $\mathcal{G}$ a $X$ y de nuevo tomar global de las secciones.

En el primer caso, usted descubre que prácticamente todos (finito dimensionales, más de $\mathbb{C}$, etc) las representaciones de $G$ surgir en una forma geométrica: existe un colector $X$ (es decir. la bandera de la variedad $G/B$ respecto a la elección de un Borel $B \subset G$) y una equivalencia de tensor de categorías entre ciertos $D_X$-módulos de e $G$-rep. Esto se conoce como Beilinson-Bernstein localización y voy a hacer referencia a [3] para las instrucciones precisas.

Mi pregunta es que si hay una categórica analógica de esta declaraciones a lo largo de las líneas de

Hay una equivalencia de $2$-categorías, entre la categoría de (categórica) las representaciones de $G$ y algunos categoría de equivariant gerbes con tv de conexiones en un espacio de $X$ ?

Este espacio puede ser de infinitas dimensiones. Una cosa que viene a la mente, por ejemplo, es el hecho de que $D$-los módulos de los afín grassmanian $Gr_G$ lleva un monoidal acción de $Rep (G^{\vee})$, y las acciones de los grupos en categorías están relacionadas con estos monoidal acciones por de-equivariantization [1]. Esto podría estar relacionado con mi pregunta, pero aviso que esto no es realmente lo que te pido hasta allí.

Además del folklore que "debe ser verdad", no hay nada concreto por escrito?

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[1] Frenkel y Gaitsgory. Geométricas locales Langlands correspondencia afines y de Kac-Moody álgebras de

[2] Beilinson y Drinfeld Cuantización de Hitchin es integrable sistema y Hecke eigensheaves

[3] Milicic la Localización y la Teoría de la Representación de Reductora Mentira Grupos

Answer 1

[Editado para reflejar Reimundo del comentario] La pregunta se refiere a categorified versiones de la Borel-Weil-Bott teorema (y, más en general Beilinson-Bernstein localización), de la cual los estados una equivalencia entre el G-equivariant vector de paquetes en la bandera de la variedad - también conocido como vector de paquetes en pt/B (modulo una acción del grupo de Weyl - aka doble cosets B\G/B - por intertwiners) y algebraico representaciones de G. Hay dos piezas de contenido: en primer lugar, que todas las representaciones se pueden realizar en G/B, es decir, las representaciones tienen mayor peso, y segundo que irreducibles corresponden a la línea de paquetes, es decir, su mayor peso, los espacios son unidimensionales. La primera tiene un análogo para cualquier representación de la Mentira de álgebra: Beilinson-Bernstein, la localización puede ser reformulado como simplemente la afirmación de que el descenso tiene torcida D-módulos en la bandera de la variedad de representaciones de la Mentira de álgebra.

No sé nada acerca de la analógica de la segunda afirmación de categorified representaciones - es decir, en qué medida "indecomposable" las representaciones de algún tipo son inducidas desde el "uno-dimensiones" (es decir, de gerbes en espacios homogéneos) - excepto para señalar un muy buen papel por Ostrik (sección 3.4 aquí) en el que los resultados análogos se han demostrado para el caso de un grupo finito.

Como para el "descenso" (primera) parte de BWB, se vuelve completamente trivial una vez categorified, si tenemos en cuenta los llamados algebraicas (o quasicoherent) acciones de G en categorías (de forma equivalente módulo de categorías para quasicoherent poleas en G). De hecho la misma afirmación se cumple para CUALQUIER algebraicas subgrupo de G, no sólo un Borel, en clara distinción con la configuración clásica: algebraico G-medidas relativas a las categorías son generados por su H-invariantes para cualquier H en G! Más precisamente, tenemos el siguiente teorema:

Pasando a H-invariantes proporciona una equivalencia de $(\infty,2)$-categorías entre (dg) categorías con un G de acción y categorías con una acción de la "Hecke categoría de" control de calidad(H\G/H) de doble cosets.

Este es un teorema de la mina con Juan Francisco y David Nadler en un preprint que está a punto de aparecer (copias disponibles).. es una versión de un conocido resultado de Mueger y Ostrik en el grupo finito de casos, y es una aplicación fácil de Lurie Barr-Beck teorema. De hecho, si utilizamos un resultado de Lurie en DAG XI, que no hay ninguna distinción entre quasicoherent gavillas de categorías en las pilas de X con afín diagonal y simplemente módulo de categorías sobre control de calidad(X), podemos reformular el resultado de la siguiente manera:

G-equivariant quasicoherent gavillas de (dg-)categorías en la bandera variedad equipado con un "categorified Weyl grupo de acción" (estructura del módulo de control de calidad(B\G/B) ) son equivalentes (como $(\infty,2)$-categoría) a (dg)-categorías algebraicas G-acción.

Por otro lado las cosas se ponen mucho más interesantes si tenemos en cuenta "suave" o "infinitesimalmente trivializado" G-acciones (módulo de las categorías D-módulos G) (también discutido en las referencias que proporcionan). El ejemplo fundamental de esta categoría es, de hecho, Ug-mod, la categoría de todas las representaciones de la Mentira de álgebra, o, equivalentemente, (hasta algunos con simetría) de la categoría D_H(G/N) de todos los trenzado D-módulos en la bandera de la variedad. En este caso mi papel con Nadler "Carácter de la teoría de un grupo complejo" (y otro trabajo en progreso), precisamente los estudios de la completa sub(2)categoría de lisa G acciones que SE generan por su mayor peso, espacios, es decir, que no vienen a través de un Borel-Weil-Bott tipo de construcción (o, equivalentemente, el pleno de la subcategoría generado por el principal ejemplo Ug-mod). Y no todos los lisas G-categorías de esta forma, a pesar de que uno podría esperar que este es el caso en algunas sentido más débil.. en cualquier caso, no parece que todos los G-categorías de interés en la teoría de la representación entran dentro de esta rúbrica. Pero, en cualquier caso, no conozco a un BWB tipo de declaración en esta configuración.