Investigación en geometría algebraica aplicada que necesita esencialmente una base de geometría algebraica moderna al nivel de Hartshorne

Question

Por geometría algebraica aplicada no me refiero a las aplicaciones de la geometría algebraica a las matemáticas puras o a la física teórica superpura. No la teoría de números, la teoría de la representación, la topología algebraica, la geometría diferencial, la teoría de cuerdas, etc. Sin embargo, dado que la frontera entre las matemáticas puras y las aplicadas es algo imprecisa, si no estás seguro de que tu respuesta se refiera realmente a la geometría algebraica aplicada (por ejemplo, conoces una dirección que es medio pura y medio aplicada), no dudes en añadir tu respuesta o dejar un comentario.

En concreto, me pregunto si la teoría moderna de los esquemas (y de las tramas coherentes, en su caso) tiene alguna aplicación fuera de las matemáticas puras, mientras que la teoría clásica de las variedades no será suficiente. Sé que existe un área llamada geometría algebraica estadística, pero creo que hasta ahora sólo utiliza la geometría algebraica clásica (no es necesario conocer los esquemas y las poleas). Espero encontrar un área de geometría algebraica aplicada en la que no se desperdicie una formación tan sólida como terminar la mayoría de los ejercicios de Hartshorne.

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Actualizaciones:

De acuerdo con algunos de los comentarios de abajo, quiero aclarar algunos puntos:

(1) Al decir "...mientras la teoría clásica de las variedades no sea suficiente", no tienes que demostrar que el trabajo de investigación en geometría algebraica aplicada que tienes en mente (que involucra nociones de geometría algebraica moderna) no puede ser traducido a lenguajes clásicos. Creo que mientras el autor elija un lenguaje moderno para escribir un trabajo de geometría algebraica aplicada, debe haber una razón detrás de ello y nosotros averiguaremos por qué.

(2) En cuanto a "aplicable" frente a "potencialmente aplicable", creo que hoy en día está claro que muchos (si no la mayoría) de los artículos de matemáticas aplicadas y estadística son sólo "potencialmente aplicables" por el momento (basta con mirar las revistas y conferencias del SIAM). Por lo tanto, creo que las respuestas "potencialmente aplicables" son bienvenidas. Si su respuesta es "demasiado pura para ser incluso potencialmente aplicable", que alguien deje un comentario abajo...

Answer 1

Ignoraré la cuestión de lo que es "aplicable" y lo que es sólo "potencialmente aplicable", y la cuestión de si algo podría traducirse a la lengua clásica, y simplemente ofreceré un ejemplo que encontré recientemente:

Max Lieblich, Lucas Van Meter: Dos esquemas de Hilbert en la visión por ordenador .

Como sugiere el título, se trata de un artículo sobre la geometría de la visión por ordenador que utiliza esquemas de Hilbert, por no hablar de las pilas de Artin.( Pero en realidad no es tan elegante como todo eso: al final resultan ser simplemente espacios algebraicos).

Answer 2

Bernd Sturmfels cuenta con una amplia obra de aplicación de la geometría algebraica a diversos campos: biología, química, análisis de datos y visión por ordenador.

No todos sus trabajos utilizan el lenguaje de los esquemas, pero imagino que muchos están al menos informados por ese punto de vista.

Sin embargo, una búsqueda rápida revela algunos documentos que utilizan ese lenguaje:

1. Biología de sistemas algebraicos: Un estudio de caso para la vía Wnt por Elizabeth Gross, Heather A. Harrington, Zvi Rosen, Bernd Sturmfels.
2. Un esquema de Hilbert en la visión por ordenador por Chris Aholt, Bernd Sturmfels, Rekha Thomas.

Answer 3

Conozco muchas investigaciones modernas en geometría algebraica (sobre números complejos o reales) en las que sólo se utiliza la geometría algebraica muy clásica (anterior a Grothendieck). Es tanto "pura" como "aplicada". (S. Abhyankar trabajó en el mismo departamento en el que estoy:-)

Pero por supuesto no puedo EXCLUIR que alguna geometría algebraica moderna sea útil en algunas cuestiones aplicadas, incluso muy aplicadas como la teoría de control.

Por lo general, se trata de una cuestión de formación del escritor y de su público objetivo. En la mayoría de los casos, la geometría algebraica moderna (tipo Hartshorne) puede traducirse a términos completamente clásicos. Así que en muchos casos se trata simplemente de una elección de lenguaje y, por tanto, depende de las preferencias del autor. Por supuesto, existe el problema de que a las personas sin esta formación moderna les resulta difícil entender los trabajos escritos en el lenguaje moderno. Pero hay varias áreas de la geometría algebraica (tanto pura como aplicada) en las que todavía domina el lenguaje clásico.

Como ejemplo, donde el lenguaje moderno se utiliza en "aplicaciones" (a las ecuaciones diferenciales) puedo mencionar este libro:

MR1117227 Malgrange, B. Équations différentielles à coefficients polynomiaux. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1991.

que la mayoría de la gente con formación clásica en ecuaciones diferenciales no puede leer.

Answer 4

Existe un tema que podría llamarse "geometría algebraica filogenética"; véase por ejemplo Sobre los árboles filogenéticos: una visión geométrica de Buczyńska y Wiśniewski. Podría decirse que este trabajo solo es "potencialmente aplicable" y que el uso de un lenguaje teórico moderno no es realmente necesario, pero quizá se acerque a lo que buscas.

Answer 5

Relacionado con varias respuestas está el tema de la identificabilidad y las ecuaciones de las variedades secantes. Esto tiene usos actuales y reales. Identificable significa que un punto de una variedad secante, o al menos un punto general de la variedad tiene una representación única. Está relacionado con algo llamado el problema de Waring para polinomios. Esto surge en la comunicación telefónica. Creo que la forma en que se transmiten los datos por los canales es que toda la información se pone en forma numérica, se eleva a una potencia alta y luego se suma. La identificabilidad permite encontrar los números originales, que es la información requerida. Eso me han dicho.

La gente ha mencionado la filogenética. Los modelos de la filogenética son variedades secantes a las incrustaciones de Segre/Veronese de los espacios proyectivos. Las ecuaciones de estas variedades son la información del modelo. Shmuel Friedland ganó un salmón ahumado del río Copper por encontrar las ecuaciones (teóricas de conjuntos) de un modelo específico de interés para una persona concreta. Además, para la filogenética y la transmisión, disponer de las ecuaciones reales de la vareidad es algo entre útil y necesario, ya que la comprobación de la igualdad (aproximada) es mucho más fácil con ecuaciones de menor grado.