Si un $\otimes$-idempotente objeto tiene un doble, debe ser auto-dual?

Question

Deje $C$ ser un monoidal simétrica categoría.

• Recordemos que un dual para $X \in C$ es un objeto $X^\vee$ y mapas de $\eta: I \to X \otimes X^\vee$ e $\varepsilon: X^\vee \otimes X \to I$ (donde $I$ es el monoidal unidad) que satisface el triángulo de las identidades.

• Digamos que $X$ es auto-dual doble de $X^\vee$ para $X$ con $X \cong X^\vee$.

• Digamos que $X$ es idempotente si $X \cong X \otimes X$.

• Digamos que $X$ es bien idempotente si hay un mapa de $i: I \to X$ tal que $X \otimes i: X \to X \otimes X$ es un isomorfismo.

• Doblemente, $X$ es co-bien-idempotente si hay un mapa de $p: X \to I$ tal que $X \otimes p: X \otimes X \to X$ es un isomorfismo.

Claramente, si $X$ es auto-dual y idempotente, entonces $X$ es bien idempotente y co-bien-idempotente. Por el contrario, pido

Preguntas:

1. Si $X$ es idempotente y dualizable, entonces es $X$ auto-dual?

2. Si $X$ es bien idempotente y dualizable, entonces es $X$ auto-dual?

3. Si $X$ es bien idempotente y co-bien-idempotente y dualizable, entonces es $X$ auto-dual?

Sospecho que la respuesta a todas estas preguntas es "no", pero yo no conozco a ninguno de los ejemplos.

Answer 1

Si $C$ no se considera simétrica, entonces la respuesta a las preguntas 1 y 2 es no. Deje $p^* \dashv p_* \dashv p^!$ ser totalmente fieles adjunto triple con $p_* : A \to B$. (Por ejemplo, $A= \mathrm{Top}$ e $B=\mathrm{Set}$ con $p_*$ el olvidadizo functor, $p^*$ la topología discreta, y $p^!$ la indiscreta uno.) A continuación, $F = p^* p_*$ es un idempotente comonad en $A$ e $U = p^! p_*$ es un idempotente mónada, y $F \dashv U$. Por lo tanto, $F$ es bien idempotente y dualizable en el endofunctor categoría $C = [A,A]^{\mathrm{op}}$ con su composición, estructura monoidal, pero en general no es auto-dual.

Answer 2

EDIT: parece Que fue demasiado apresurado a eliminar esta respuesta. Creo que me he fijado la brecha que Anton se indicó en los comentarios y en su respuesta. Como Anton, señaló en su respuesta, el seguimiento de bucle que se me cayó en la final es trivial, pero puede ser retirado de cualquier diagrama donde aparece una "X" en otro componente conectado. Intuitivamente, un idempotente debe tener la dimensión 1, cuando es distinto de cero. He orientado a la cadena de diagramas de forma vertical, de manera que cualquier sección transversal horizontal se puede leer de izquierda a derecha en el orden simbólico.

La respuesta a la pregunta 2 (por lo tanto, 3) es "sí" para monoidal simétrica categorías. Deje $f:X\otimes X\to X$ ser las dos caras de la inversa de $id_x\otimes i$. Como resulta, $f$ es también la izquierda inversa de $i\otimes id_X$. Esto se demuestra en la imagen del siguiente enlace.

Deje $\phi:X\to X^\vee$ ser la composición

$X\to X\otimes I\to X\otimes X\otimes X^\vee\to X\otimes X^\vee\to I\otimes X\otimes X^\vee\to X^\vee\otimes X\otimes X\otimes X^\vee\to X^\vee\otimes X\otimes X^\vee\to X^\vee\otimes I\to X^\vee,$

y deje $\psi:X^\vee\to X$ ser la composición de la $X^\vee\to I\otimes X^\vee\to X\otimes X^\vee\to I\to X$. Estos dos mapas son mutuamente inversas. Aquí es una cadena diagrama de la "prueba" de tanto de los hechos anteriores.

Esta es la prueba con un paso injustificado en la final.

Answer 3

Ok, no tengo idea de cómo solucionar el invariante de la cadena de diagramas, pero tengo una explícita contraejemplo. Considere la posibilidad de la 2-categoría de distribuidores $Dist$: sus objetos son pequeños categorías, sus morfismos de $C$ a $D$ son bifunctors $C\times D^{op} \to Set$, su 2-morfismos son naturales y transformaciones de la composición está dada por el producto tensor de bifunctors. Es un monoidal simétrica 2-categoría monoidal producto dado por $\times$. Sus equivalencias son Morita equivalencias de categorías, que son las mismas que colimit-la preservación de las equivalencias de sus presheaf categorías. Cualquier categoría es un dualizable objeto en $Dist$, el doble es dada por el contrario categoría y la evaluación-coevaluation morfismos son dadas por el hom-functors. Podemos extraer una monoidal simétrica 1-categoría de lo desechando todos los noninvertible 2-morfismos y el colapso de todos los invertible, es decir, es 1-truncamiento de la 1 categorías fundamentales. Más simple y un ejemplo similar sería el 2-categoría de álgebras asociativas con bimodule categorías de morfismos, pero no puedo producir un contraejemplo en ella.

De todos modos, para cualquier categoría de $C$ su infinita cartesiano de potencia $C^{\mathbb N}$ es, obviamente, idempotente. Es también una categoría de functors de $\mathbb N$, así que todos sus morfismos y límites/colimits son pointwise. Considere ahora la categoría de vacío finito de conjuntos de $Fin_{ne}$. Yo reclamo que $\left(Fin_{ne}\right)^{\mathbb N}$ e $\left(Fin^{op}_{ne}\right)^{\mathbb N}$ no Morita equivalente. Ciertamente no son equivalentes, así como las categorías desde $Fin_{ne}$ (y por lo tanto $\left(Fin_{ne}\right)^{\mathbb N}$) tiene un final objeto y no objeto inicial, mientras que para $Fin^{op}_{ne}$ es al revés. Pero $Fin_{ne}$ (y por lo tanto $Fin^{op}_{ne}$) son de Cauchy completa (todos los idempotents split), por lo que el mismo es cierto para $\left(Fin_{ne}\right)^{\mathbb N}$ e $\left(Fin^{op}_{ne}\right)^{\mathbb N}$. Cualquier Morita equivalencia entre Cauchy completa de categorías se realiza como una verdadera equivalencia de categorías, por el Teorema de 2.7.3, QED.

Answer 4

De Anton Fetisov del trabajo, creo que podemos extraer un ejemplo sencillo. De hecho, este ejemplo debe ser universal para la clase de los ejemplos que él construye.

Recordemos que la conexión de un segundo-contable de un manifold con frontera es un intervalo cerrado, un intervalo abierto, semi-abierto intervalo, o un círculo.

Considerar la categoría cuyos objetos son pares de conjuntos contables $(A^+,A^-)$ y donde una de morfismos $(A^+, A^-) \to (B^+, B^-)$ es una segunda contables 1-manifold con frontera, cuyo límite es igual a $A^+ \cup A^- \cup B^+ \cup B^-$, y de tal manera que cada intervalo cerrado componente tiene un límite de punto en $A^+ \cup B^-$ y una en $A^- \cup B^+$ (hasta el isomorfismo).

Composición de morfismos $(A^+ , A^-) \to (B^+, B^-)$ con un morfismos $(B^+,B^-) \to (C^+,C^-)$ se obtiene mediante el encolado de los colectores a lo largo de $B$.

Un monoidal simétrica estructura está dada por la desunión de la unión de conjuntos y morfismos. La identidad es una unión de intervalos cerrados conexión de cada elemento a sí mismo.

Si yo hice esto con finito de conjuntos y compacto de los colectores, por lo que los únicos componentes que se han cerrado y los intervalos de círculos, me hubiera construido la libre monoidal simétrica de la categoría en un generador y su doble. Porque me permiten conjuntos infinitos, me necesariamente debe permitir que los componentes conectados que no están cerrados.

El elemento $(\mathbb N,\emptyset)$ es idempotente como $(\mathbb N,\emptyset) \otimes (\mathbb N,\emptyset)= (\mathbb N \cup \mathbb N,\emptyset \cup \emptyset) = (\mathbb N , \emptyset)$.

Tiene doble $(\emptyset, \mathbb N)$, con la unidad y counit cada dado por una unión de intervalos cerrados de conexión de los dos copias de $\mathbb N$, donde las relaciones por una infinita discontinuo de la unión de la habitual fibrosa de la prueba.

Sin embargo, no es auto dual, como $(\mathbb N,\emptyset)$ e $(\emptyset,\mathbb N)$ son no isomorfos, como cada mapa entre ellos tiene todos los elementos conectados a medio abrir intervalos (debido a $B^- \cup A^+$ está vacío), por lo que la composición también tiene todos los elementos conectados a medio abrir intervalos y por lo tanto no es la identidad.

Answer 5

Estos son algunos hechos que nos parecen relevantes aquí. Permítanme adoptar la Boyarchenko-Drinfeld la terminología de la preprint he ligado en los comentarios de arriba, y utilizar el término "cerrado idempotente" para lo que he llamado "bien idempotente" en la pregunta, y "abrir idempoent" para "co-bien-idempotente".

• El primer punto es que si $X$ es un cerrado idempotente a través de $r: I \to X$, y simultáneamente un abrir idempotente a través de $i: X \to I$, luego hay otros dos coherencias uno debe preguntar por: (a) $ri = 1_X$ y (b) $1_X \otimes ir = 1_{X}$. En este caso, vamos a decir que el par $(r,i)$ exposiciones $X$ como "clopen idempotente". Yo diría (a) la "división condición" y (b) las "condiciones de estabilidad".

• Pero tenemos estas coherencias gratis: si $X$ es presentada como un cerrado idempotente por $r$ y un idempotente por $i$, entonces no es un $i'$ tal manera que el par $(r,i')$ exposiciones $X$ como clopen idempotente. La prueba es similar a la prueba de que cada equivalencia puede ser hecho en un adjunto de equivalencia.

• Cada clopen idempotente es auto-dual, con la unidad dada por $r \otimes r$ y counit dado por $i \otimes i$. Esto es fácil de demostrar el uso de (a) y (b).

• Por el contrario, si un cerrado idempotente tiene un doble (y, por tanto, es la auto-dual), entonces es clopen.

Así que esto era realmente una pregunta acerca de clopen idempotents. Además, todo parece seguir trabajando en el trenzado de caso. Otros dos hechos interesantes demostrado en el Boyarchencko-Drinfeld preprint:

• Si $X$ es un cerrado idempotente, entonces el trenzado $X \otimes X \to X \otimes X$ es igual a la identidad.

• Si $X$ es un cerrado idempotente, entonces el mapa de $r$ exhibe como tal, está determinada únicamente. (En particular, por encima de nosotros debe tener $i' = i$.)