Es la diferenciación como un mapa discontinuo?

Question

Me encontré con la siguiente declaración:

Deje $C([0,1])$ ser el espacio de todas las funciones continuas en el intervalo de $[0,1]$ equipado con el Supremum de la norma. Suponga $A$ es un mapa en el espacio de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua en $C([0,1])$. También, $A$ es la diferenciación en el sentido de que los mapas de las funciones a su derivada. El mapa de $A$ (diferenciación) es discontinua.

Está escrito que la última frase es muy conocida pero no puedo hacer ningún sentido de la misma. ¿Cómo puedo llegar a tal conclusión? En realidad, estoy buscando un explícito contraejemplo.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Para un contraejemplo, tomar la secuencia $$\frac {\sin nx} n$$ Todos estos son continuamente diferenciables, pero la secuencia converge a $0$ y la secuencia de los derivados no convergen en absoluto. La derivada del límite no es igual al límite de los derivados, por lo que no es continua.

Answer 2

Depende de su comprensión de $C^1([0,1])$, el espacio de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua. Es un subespacio lineal de $C([0,1])$, donde $C([0,1])$ es está equipado con el supremum norma $\lVert f \rVert = \sup_{x \in [0,1]} \lvert f(x) \rvert$. Si usted da $C^1([0,1])$ la norma heredada de $C([0,1])$, es decir, el supremum de la norma, a continuación, $A$ no es continua (ver a Matt Samuel respuesta). Pero también se puede dar $C^1([0,1])$ la norma $$\lVert f \rVert^{(1)} = \lVert f \rVert + \lVert f' \rVert .$$ A continuación, $A : (C^1([0,1]), \lVert - \rVert^{(1)}) \to (C([0,1]), \lVert - \rVert)$ es trivialmente continua.

Editado:

$(C^1([0,1]), \lVert - \rVert^{(1)})$ es un espacio de Banach. Consulte Probar que $C^1([a,b])$ con $C^1$- la norma es un Espacio de Banach. En contraste, $(C^1([0,1]), \lVert - \rVert)$ no lo es. Usted puede generalizar esto a los conjuntos de $C^k([0,1])$ de $k$-veces continuamente diferenciable funciones. Son espacios de Banach si está equipado con $$\lVert f \rVert^{(k)} = \lVert f \rVert + \lVert f' \rVert + \ldots + \lVert f^{(k)} \rVert$$ y $$A : (C^{(k)}([0,1]), \lVert - \rVert^{(k)}) \to (C^{(k-1)}([0,1]), \lVert - \rVert^{[k-1)}), A(f) = f' ,$$ es continua.