Octonions y el plano de Fano.

Question

¿El plano de Fano mnemónico para octonion multiplicación tiene algún significado más profundo?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/FanoPlane.svg

El grupo de simetría del plano de Fano es PSL(2,7), el segundo más pequeño nonabelian simple grupo. También es el más pequeño Hurwitz grupo, y el grupo de automorfismos de la cuártica de Klein.

http://en.wikipedia.org/wiki/PSL(2,7)

Supongo que me pregunto si Hurwitz de la clasificación de la normativa de la división de álgebras y Hurwitz teorema de automorfismos de superficies de Riemann están directamente relacionados de alguna manera.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(composition_algebras) http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_automorphisms_theorem

EDIT: al Parecer el plano de Fano mnemónico es originalmente debido a Freudenthal (1951). Por desgracia yo no leo alemán, tampoco tengo acceso a Freudnthal del libro para buscar la palabra "Fano".

http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=MR13:433a

EDICIÓN: Juan Báez sugiere una idea aquí (desde el 2001), pero no puedo encontrar cualquier discusión de seguimiento.

http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node4.html

Answer 1

Sí.

Como se hizo referencia anteriormente, G=PSL(2,7) tiene 168 elementos y es la automorphism grupo de la cuártica de Klein así como el grupo de simetría del plano de Fano.

Hay 30 posibles maneras de organizar las 7 objetos en 7 de las tríadas de tal manera que cada par de objetos pertenece exactamente a la 1 de la tríada. Hay 16 posibles 7-bit de signo reversiones utiliza para generar el 30*16=480 válido Octonions (de los cuales Báez' muestra uno). Todos los 480 permutaciones de Fano plano y cúbica se muestran aquí (15MB pdf).

Hay 168 permutaciones de "twisted Octonions" para cada uno de los 30 conjuntos de tríadas (168*30=5040=7!).

La referencia de Báez' a las retorcidas Octonions se tratan en más detalle por Chesley aquí. Ellos se han integrado en mi trabajo con el código de Mathematica con base en su c código. Fue utilizado para producir la WikiPedia hace referencia Fano plano y cúbica en la publicación de que se trate. También he validado el 7! trenzado Octonion permutaciones con ella.

Los Báez Fano cúbicos se muestra en una foto aquí (lo siento, yo no puedo publicar fotos en MathOverFlow todavía). Tiene color amarillo nodos destacando la Real, Complejo, de Cuaterniones y Octonion plano. Es uno de los pocos Octonions que tienen el signo de la máscara (por Chesley) de 00, lo que significa que es uno de los canónica de 30 conjuntos de 7 tríadas.

Mi término "volteado" (en la foto a que se hace referencia anteriormente, y el .los archivos pdf) se refiere a la necesidad de reorganizar el Fano tecla de acceso a los nodos de los algoritmos predeterminados "aplanado" secuencia con el fin de aplicar el mismo dirige la flecha de la lógica como la "no-volteado" Fano planos y cúbicas. El aplanamiento procedimiento es simplemente tomar la primera aparición de cada número de 1 a 7.

El Octonions son conocidos por estar asociados con el 240 vértices de E8. Es la relación entre la volteada y no volcó Octonions que proporciona el 2 a 1 asignación a E8. Estos se muestran integrado en mi (todavía) muy especulativo de trabajo en un Dedo del pie, que se muestra en una integral (40 MB pdf) aquí.