Demostrar eso si $({x+\sqrt{x^2+1}})({y+\sqrt{y^2+1}})=1$ y $x+y=0$

Question

Que $$\left({x+\sqrt{x^2+1}}\right)\left({y+\sqrt{y^2+1}}\right)=1$ $ demostrar que $x+y=0$.

Esta es mi solución:
Que $$a=x+\sqrt{x^2+1}$ $ y #% $ de $$b=y+\sqrt{y^2+1}$entonces $x=\dfrac{a^2-1}{2a}$y $y=\dfrac{b^2-1}{2b}$. Ahora $ab=1\implies b=\dfrac1a$. Luego reemplacé $x$ y $y$: %#% $ #% esta solución es absolutamente diferente de la solución en mi libro. ¿Mi solución es matemáticamente correcta? ¿Supuse que algo que no puede ser cierto?

Answer 1

Note $$y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\tag{1}$$ $$x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\tag{2}$$ $(1)+(2)$ $$\Longrightarrow x+y=-(x+y)$$ $$\Longrightarrow x+y=0$$

Answer 2

Sugerencia: Que $x=\sinh a$ y $y=\sinh b$. Luego, usando el hecho de que $\cosh^2u-\sinh^2u=1$ y $\sinh u+\cosh u=e^u$, llegamos a $e^{a+b}=1\iff a+b=0$, suponiendo que a y b son reales.
Desde $\sinh u$ $\sin u$, es una función impar, la prueba es completa.

Answer 3

Dada la simetría del problema, wlog $x\ge y$. $x=y=0$ es una solución, de ahora en adelante vamos a suponer que $x>0$.

Que $f$ sea el valor real mapa $w\mapsto w+\sqrt{w^2+1}$. Si $w>0$ y $f(w)>1$, que es suficiente para demostrar que $x>0>y$. Incluso mejor (sin derivarlo), $f$ estrictamente creciente en los reales positivos.

Definir $z=-y>0$. Entonces es equivalente a (sólo racionalizarlo) $f(x)f(y)=1$ $$f(x)=f(z),$ $, lo que implica que el $x=z$. Esto es equivalente a $x+y=0$.