¿Cómo puedo dibujar aleatoriamente un conjunto de vectores unitarios, que se suma a cero?

Question

Inspirado por esta pregunta, me gustaría determinar la probabilidad de que un azar nudo de 6 unidad de palos es un trébol. Naturalmente, esto conduce a la siguiente pregunta:

Es allí una manera a la muestra de manera uniforme desde el conjunto de los conjuntos de $n$ vectores unitarios $\{ v_i \}_{i=1}^n$ en $\mathbb{R}^d$, que se suma a cero? Me gustaría algún tipo de expresión analítica para la distribución (algo que yo podría ser capaz de demostrar un teorema), pero también un proceso algorítmico para implementar en el código.

ACTUALIZACIÓN: esto Se parece a lo que yo quiero es, básicamente, la medida de Hausdorff de una variedad algebraica. Puedo utilizar la construcción de esta medida de producir una expresión analítica para la distribución?

Answer 1

Aquí es un enfoque. Empezar con un regular $n$-gon en el $xy$-plano con la unidad edge longitudes; dicen que sus vértices son $v_i$, $i=0,\ldots,n-1$. Ahora repetir el siguiente proceso.

Seleccione al azar diagonal, $v_i v_j$. Gire la cadena de $v_i, v_{i+1}, \ldots, v_j$ (índices adecuadamente mod $n$) como una unidad rígida acerca de la línea a través de $v_i v_j$, por un azar del ángulo de $\theta \in [0,2\pi)$.

Continúe hasta que haya suficiente "de la mezcla." Me ilustrar el proceso por debajo de 30 iteraciones se aplica a un hexágono.
          
(Disculpas por la escala de la cadena de vaga lejos de su inicial locaion.)

Answer 2

Cantarella y Shonkwiler ahora han publicado un documento en el equilátero azar polígono caso. Su papel parece cubrir una gran cantidad de lo que usted está interesado en, incluyendo una nueva cadena de Markov algoritmo, así como un nuevo límite inferior de 3/4 de la probabilidad de que un azar del hexágono equilátero es de la onuanudada.

Que obligado es realmente un gran subestimar, sin embargo -- le informan de que su cadena de Markov le da una probabilidad de $(1.3\pm0.2)\times10^{-4}$ para knottedness.

---

Post anterior

Cantarella, Deguchi y Shonkwiler recientemente han comenzado a investigar los diversos conjuntos de azar polígonos que, aunque no de la forma particular que ha especificado, todavía puede ser de su interés.

No puedo resumir su enfoque mejor que el resumen de su artículo:

Podemos construir una nueva medida de probabilidad en el espacio cerrado y plano de polígonos. La clave de la construcción es un mapa, dada por Knutson y Hausmann utilizando el mapa de Hopf sobre cuaterniones, desde el complejo Stiefel colector de 2-marcos en el n-espacio para el espacio cerrado de n-ágonos en un espacio de 3 dimensiones de la longitud total de 2. Nuestra probabilidad de medida en el polígono el espacio es definido por empujan hacia adelante a medida de Haar en el Stiefel colector por este mapa. Una construcción similar, los rendimientos de una medida de probabilidad en el plano de los polígonos que se trata de un verdadero Stiefel colector. El edgelengths de polígonos muestreados de acuerdo a nuestras medidas obedecen a la beta de las distribuciones. Esto hace que nuestro polígono medidas diferentes de los que normalmente estudiado, que han de Gauss o fijo edgelengths. Una de las ventajas de nuestras medidas es que podemos calcular explícitamente las expectativas y momentos para chordlengths y radios de giro. Otra es que el muestreo directo de acuerdo a nuestras medidas es rápido (lineal en el número de aristas) y fáciles de código.

Algunos de nuestros métodos serán de interés independiente en el estudio de la probabilidad de otras medidas en el polígono de los espacios. Definimos un conjunto de borde ensemble (ESE) para el conjunto de los polígonos creados mediante la reorganización de un conjunto dado de n aristas. Una clave teorema da una fórmula para la media a través de una ESE de los cuadrados de las longitudes de los acordes saltarse k vértices en términos de k, n, y la edgelengths del conjunto. Esto le permite a uno fácilmente calcular los valores esperados de los cuadrados de las chordlengths y radios de giro para cualquier medida de probabilidad en el polígono de espacio invariante bajo reordenamientos de los bordes.

En un documento de seguimiento Cantarella, Grosberg, Kusner y Shonkwiler calcular el total previsto de curvatura para estos random $n$-ágonos y por lo tanto extraer de los límites en los nudos de las probabilidades de hexágonos y heptagons.

---

Resulta que hay una relativamente gran cantidad de literatura sobre "el azar equilátero polígonos", que es el modelo que le interesa. Creo que no hay ninguna conocida fórmula analítica de la probabilidad que se busca para la medida de alguna de las más complicadas semi-algebraicas correspondientes a los componentes de la configuración del espacio que corresponden a los nudos de los polígonos. Por lo tanto las personas han sido principalmente el estudio de las propiedades de dichas al azar en los nudos de Monte Carlo de muestreo.

Ken Millett es uno de los expertos en aleatorio nudos y sería una gran persona charlar acerca de estas preguntas. He aquí uno de sus artículos titulado "La Generación de Azar Equilátero Polígonos"; el cual contiene una discusión de los métodos utilizados en la literatura siguientes variaciones de la idea de que Joseph O'Rourke descrito anteriormente.

Por supuesto, el hexagonal caso ha sido estudiado numéricamente, pero no pude encontrar una estimación precisa en mis búsquedas. Una temprana papel de Ken Millett, que se muestra como un punto de datos en una curva de nudos probabilidad en comparación con el número de bordes se puede encontrar aquí.