Conjetura: Vamos a $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ ser un doquier función derivable y asumir que $f(x)+f′(x)∈ \{-1,1\}$ en casi todas partes y $f'(0)=0$. A continuación, se $f$ necesariamente una función constante?
Me puedes dar un contra-ejemplo? Ya he hecho la pregunta aquí en MathSE.
Respuesta
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Su conjetura es verdadera y no hay ningún contraejemplo.
Supongamos, por el contrario afirman, que su conjetura es falsa. Definir $$g(x) = f(x) + \int_0^x f(y) dy,$$ so that $g'(x) = f'(x) + f(x)$. Thus, $g$ is everywhere differentiable, $g'(x) \en \{-1,1\}$ almost everywhere, and $g'$ is not a constant. (For if $g'$ was constant $\pm 1$, we would have $f(x) = \pm 1 + c e^x$, which, together with $f'(0) = 0$, would imply that $f$ es constante).
Este hermoso resultado de J. A. Clarkson desde 1947 afirma que si $\alpha < \beta$,, a continuación, $$E(\alpha, \beta) := \{x : g'(x) \in (\alpha, \beta)\}$ $ está vacío o tiene positivo de la medida de Lebesgue.
Desde $g'$ no es constante, se necesitan al menos dos valores, y por el teorema de Darboux, en el hecho de que toma todos los valores en un intervalo $(\alpha, \beta)$. El cambio de este intervalo a una más pequeña, si es necesario, podemos suponer que la $(\alpha, \beta) \cap \{-1, 1\} = \varnothing$. Desde $E(\alpha, \beta)$ no está vacía, se ha positiva de la medida de Lebesgue, y por lo tanto $g'(x)$ no pertenecen a $\{-1, 1\}$ en casi todas partes - una contradicción.
