Esto es sólo una respuesta parcial, dando una solución a un doble problema. Voy a utilizar el lenguaje de las variedades tóricas (http://www3.amherst.edu/~dacox/), pero en esencia la respuesta a esto es puramente combinatoria.
Voy a construir una suave 3-dimensional tóricas variedad cuya fan ha combinatoria estructura de icosaedro. Por desgracia, no estoy seguro de que este tóricas variedad proyectiva (Actualización de David demuestra en el comentario de abajo que esta variedad no es pojective!*). Si se proyectiva este sería, por supuesto, dar una solución a su pregunta, pero tengo dudas de que no es proyectiva (esto no debería ser difícil de comprobar). Pero incluso si no podemos obtener el dodecaedro de esta manera, tendremos una colección de Delzant polytops muy "cerca" de dodecaedro condiciones de thire combinatoria de la estructura.
En términos de la combinatoria, primera cosa que lo que vamos a hacer es lo siguiente: vamos a mostrar cómo se descomponen $\mathbb R^3$ a $20$ racional simplicial conos, donde cada simplicial de cono puede ser enviado a el octante positivo por una matriz de $SL(3,\mathbb Z)$. Habrá en total $12$ rayos y cada rayo está en la frontera de $5$ simplicial conos (al igual que para icosaedro).
De la construcción. En primer lugar, debemos elegir un integrante del entramado $N$ en $\mathbb R^3$, va a ser un índice de dos sublattice en $\mathbb Z^3$; $(a,b,c)\in N$ si $a,b,c\in \mathbb Z$, $a+b+c\in 2\mathbb Z$. A continuación podemos especificar $12$ puntos en $N$ que estaba en $12$ ray de nuestro fan. Estos son: $(\pm 1, \pm 1,0)$, $(\pm 1, 0, \pm 1), (0,\pm 1, \pm 1)$. De hecho, estos puntos son los vértices de la cuboctahedron http://en.wikipedia.org/wiki/Cuboctahedron . Cuboctahedron ha $8$ caras triangulares y $6$ caras cuadradas, y para terminar la construcción debemos cortar cada cuadrado de la cara por una diagonal en dos triángulos. Esto se hace como sigue: las caras $z=\pm 1$ son cortados en dos por el avión $x=0$, se enfrenta a $y=\pm 1$ por $z=0$, y las caras $x=\pm 1$ por $y=0$. Ahora no es difícil ver que los obtenidos de la triangulación de cuboctahedron nos da una descomposición de la $\mathbb R^3$ a $12$ estándar simplicial conos (solo aviso que los triples de vectores ($(1,1,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$) y $((0,\pm 1,1), (1,0,1))$ integral de las bases en $N$).
Ahora podemos hacer la pregunta. Hemos construido el ventilador de una variedad proyectiva? Uno puede responder a esta pregunta (pero no lo hago aquí (Actualización de David demostró en el comentario de que este ejemplo no es proyectiva)). Primero de todo, si no nos corte la plaza de las caras de cuboctahedron por las diagonales, tenemos un ventilador de una singular variedad proyectiva con $6$ ordinario doble singularidades (es decir, las singularidades se administra localmente por $(x^2+y^2+z^2+t^2=0)$). Un momento polytope de esta variedad es de doble a cuboctahedron y se llama rombic dodecaedro http://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_dodecahedron . Este no es un Delzant polytope porque ha $8$ mala vértices. Ahora, este polytope ha $12$ caras y con el fin de hacer el polytope Delzant debemos genéricamente perturbar las caras (mediante la sustitución de ellos por cerca de planos paralelos). Cualquier genéricos perturbación nos dará Delzant polytope. Uno sólo tiene que comprobar si entre estos polytopes habrá el Dodecaedro... En otras palabras, cada una perturbación corresponde a una estructura simpléctica en un pequeño resolución de la singular variedad, pero no es claro que podemos obtener la resolución correspondiente a la elección de las diagonales de los cuadrados que hemos hecho.
