¿Por qué es ésta "la primera curva elíptica de la naturaleza"?

Question

El LMFDB describe la curva elíptica 11a3 (o 11.a3) como "La primera curva elíptica en la naturaleza". Tiene una ecuación mínima de Weierstraß $$ y^2 + y = x^3 - x^2. $$ Mi suposición es que hay algún problema en el Diofanto Arithmetica o quizás algún otro problema de geometría antigua, que es equivalente a encontrar un punto racional en esta curva. ¿Qué podría ser?

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Editar: Aquí hay algo de información extra que he desenterrado y que sólo se menciona en los comentarios. Alexandre Eremenko también lo menciona en una respuesta a continuación . El primer ejemplo conocido de curva elíptica es el considerado implícitamente por Diofanto, en el libro IV de Arithmetica , problema 24 ( Traducción de Heath ): "Dividir un número dado en dos números tales que su producto es el cubo menos su lado". En realidad se trata de una familia de curvas sobre la recta afín, a saber $y(a-y)= x^3-x$ aunque Diofanto, en su forma habitual, sólo proporciona un único punto racional para la única curva correspondiente a $a=6$ . Esta curva es 8732.b1 en el Base de datos de funciones L y formas modulares (la etiqueta de Cremona es 8732a1). Por lo tanto, es de suponer que el comentario sobre 11a3 no quiere decir "históricamente primero".

Answer 1

En realidad sólo escribí la parte que dice que esta curva es un modelo para $X_1(11)$ no la primera parte, que creo que fue escrita por John Cremona.

Es habitual ordenar las curvas elípticas por su conductor (por ejemplo, para la estadística), y 11 es el conductor más pequeño posible. Sin embargo, hay 3 curvas con el conductor 11, y no hay una forma canónica de ordenarlas hasta donde yo sé (aunque @François Brunault tiene un punto interesante); por ejemplo las etiquetas de LMFDB no ordenan estas 3 curvas de la misma manera que las etiquetas de Cremona.

Esta curva al ser la primera podría quizás entenderse también en términos de grado modular, aunque esto también es ambiguo: si las ordenamos por grado de parametrización por $X_1(N)$ entonces esta curva, al ser un modelo de $X_1(11)$ es lo primero, pero si ordenamos en términos de grado de parametrización por $X_0(N)$ entonces 11.a2 es lo primero, ya que es un modelo para $X_0(11)$ .

Answer 2

Sólo puedo hacerme eco de la explicación de Tim D: de Coates vía Vlad a mí. No sabía que tenía una altura mínima de Faltings.

Answer 3

Lo más parecido que he encontrado en Diophantus es el problema IV(24) que consiste en resolver el sistema $$X_1+X_2=a,\quad X_1X_2=Y^3-Y.$$ Conjuntos Diofánticos $X_1=x$ y elimina $X_2$ obteniendo $$x(a-x)=Y^3-Y.$$ Esta parece ser la primera curva elíptica que se encuentra en el libro de Diofanto; antes sólo considera las curvas y superficies racionales.

Diophantus choses $a=6$ y obtiene una solución $x=26/27,\; Y=17/19$ .

(Esta pequeña investigación se basa en una traducción rusa de Diofanto con comentarios exhaustivos de I. G. Bashmakova, publicada en Moscú en 1974).

Answer 4

Le pedí a Kevin Buzzard que le preguntara directamente a John Coates, y es básicamente como la gente ha supuesto: el apelativo se debe a que la curva aparece en primer lugar en el libro de Cremona, ya que tiene el conductor más pequeño posible, y tiene los coeficientes más pequeños. Es no debido a la prioridad histórica, ya que Coates conoce manuscritos árabes de los siglos VIII y IX que hablan de $y^2 = x^3 - x$ mientras que la primera aparición de la "primera curva en la naturaleza" es aparentemente un libro de Fricke sobre funciones elípticas (creo que de 1922, pero no estoy seguro).