Cuando es la curvatura dada por una conexión?

Question

Supongamos que tenemos una curvatura como tensor $R\in \wedge^2 T^*_p M \otimes T^*_p M \otimes T_p M$ en un colector $M$, que es $R(X,Y)Z = - R(Y,X)Z$. ¿Cómo se determina si es o no es un tensor de curvatura para algunos de torsión libre afín conexión?

Una evidente condición es que la primera identidad de Bianchi $R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,Y)X = 0$ debe ser satisfecho. Hay otras condiciones que pueden ser revisada?

Answer 1

Sí, normalmente hay muchas otras condiciones. En la dimensión $n$, el espacio de curvatura-como los tensores que satisfacen la primera identidad de Bianchi son las secciones de un paquete de rango $\tfrac13n^2(n^2{-}1)$, mientras que el espacio de torsión libre de conexiones es el espacio de secciones de un afín paquete de rango $\tfrac12n^2(n{+}1)$, por lo que, al $n>2$, la ecuación diferencial parcial para la conexión de $\theta$ dada la curvatura como tensor $\Omega$, es decir, $\mathrm{d}\theta + \theta\wedge\theta = \Omega$suele estar sobre-determinado y no tiene soluciones. [Añade comentario: Para una discusión acerca de por qué la sobre-determinado (como la de este al $n>2$) generalmente no tienen solución, ver Rigurosa justificación de que los sistemas sobredeterminados no tienen solución.] Un ejemplo trivial de una condición adicional (al $n>2$) es que uno debe de tener $\mathrm{d}\bigl(\mathrm{tr}(\Omega)\bigr) = \mathrm{d}\bigl(\mathrm{tr}(\mathrm{d}\theta)\bigr) = 0$, pero hay muchos más.

De hecho, de inmediato, uno puede ver que la segunda identidad de Bianchi, es decir, $\mathrm{d}\Omega = \Omega\wedge\theta - \theta\wedge\Omega$ constituye un número de no homogéneas lineales algebraicas ecuaciones en $\theta$, y, al $n$ es lo suficientemente grande ($n>3$ va a hacer), estas ecuaciones normalmente no tienen solución, de modo tal de $\Omega$, aunque satisfagan primera Bianchi, no puede ser la curvatura de cualquier relación, y mucho menos una torsión libre.

Adenda: En mi respuesta original, me escribió:"Este problema ha sido bien estudiado en los casos intermedios al $n$ no es demasiado grande (por lo que hay algunos interesantes PDE problemas a discutir).", pero cuando el OP pidió referencias, he buscado un poco de tiempo, pero no podía encontrar a ninguno que se trata este problema en particular. Estoy seguro de que he visto este problema tratado en algún lugar, pero no podía a su vez nada. Lo siento por eso. Sin embargo, pueden esbozar el análisis a través exterior diferencial de los sistemas, como es sencillo. Tal vez esto será útil para la OP. Aquí es cómo va:

Para entender el local de solvencia, supongamos que una curvatura como tensor $R$ la satisfacción de la primera identidad de Bianchi ha sido especificado en $M^n$. Elegir un coframing $\eta = (\eta^i):TU\to \mathbb{R}^n$ sobre un conjunto abierto $U\subset M$. (Uno podría restringir el caso de una coordenada coframing, es decir, tomar $\eta^i = \mathrm{d}x^i$ para un sistema de coordenadas local de $x = (x^i):U\to\mathbb{R}^n$, pero el extra de la libertad de uso general coframing es útil a veces.) A continuación, $R$ serán representados por un $n$a$n$ matriz $\Omega = (\Omega^i_j)$ de %de $2$formularios en $U$, decir $\Omega^i_j = \tfrac12 R^i_{jkl}\,\eta^k\wedge\eta^l$ donde $R^i_{jkl}=-R^i_{ilk}$. La condición de que $R$ satisfacen la primera identidad de Bianchi es que, simplemente,$\Omega\wedge\eta = 0$, es decir, que $R^i_{jkl}+R^i_{klj}+R^i_{ljk}=0$. (Tenga en cuenta que el $R^i_{jkl}$ se $\tfrac13n^2(n^2{-}1)$ en el número). Por Cartan del Lexema, las ecuaciones $\Omega\wedge\eta = 0$ implica que no existe $1$formas de $\rho^i_{jk}=\rho^i_{kj}$ a $U$ tal que $\Omega^i_j = \rho^i_{jk}\wedge\eta^k$.

Una torsión de conexión en $U$ estará representado, en relación a la coframing $\eta$, por un $n$a$n$ matriz $\theta = (\theta^i_j)$ de %de $1$formularios en $U$ que satisface la primera estructura de la ecuación de $\mathrm{d}\eta = -\theta\wedge\eta$. Queremos saber cuando es posible elegir $\theta$, de modo que se satisface la segunda estructura de la ecuación de $\mathrm{d}\theta + \theta\wedge\theta = \Omega$.

Ahora, si $\mathrm{d}\eta^i = -\tfrac12 T^i_{jk}\eta^j\wedge\eta^k$, entonces tenemos que tener en $$ \theta^i_j = (T^i_{jk} + p^i_{jk})\eta^k $$ para algunos (aún desconocido) funciones de $p^i_{jk}=p^i_{kj}$. (Tenga en cuenta que el $p^i_{jk}$ se $N=\tfrac12n^2(n{+}1)$ en el número). Miremos el $p^i_{jk}$ como fibra de coordenadas en el (trivial) de paquete $V = U\times \mathbb{R}^N$ sobre $V$. Estamos trabajando ahora en $V$, donde tenemos $\mathrm{d}\eta = -\theta\wedge\eta$.

La diferenciación de la primera estructura de la ecuación de los rendimientos que la matriz $\Theta = \mathrm{d}\theta + \theta \wedge\theta $ satisface $\Theta\wedge\eta = 0$, por lo que sigue (de nuevo, por Cartan del Lema) que existen $$ \pi^i_{jk}=\pi^i_{kj} = \mathrm{d}p^i_{jk} + (\text{términos en $\eta$}). $$ de modo que $\Theta^i_j = \pi^i_{jk}\wedge\eta^k$.

Por lo tanto, podemos escribir $$ \Upsilon = \mathrm{d}\theta+\theta\wedge\theta \Omega = \bigl((\pi^i_{jk}-\rho^i_{jk})\wedge\eta^k\bigr) = \bigl(\tilde\pi^i_{jk}\wedge\eta^k\bigr), $$ y vemos que el algebraicas ideal generado por los componentes de $\Upsilon$ es generado por el $2$formas de $\Upsilon^i_j = \tilde\pi^i_{jk}\wedge\eta^k$. Una solución a nuestro problema va a ser una sección de $u:U\to V = U\times \mathbb{R}^n$, que tira hacia atrás de $\Upsilon$ a cero.

Ahora, cuando $n=2$, el algebraicas ideal es suficiente porque solo estamos buscando un $2$-dimensión integral del colector, y el exterior derivado de la $\Upsilon$ es $3$-forma, que necesariamente va a desaparecer cuando se tira de la espalda a través de cualquier sección de $u$. Ahora, es fácil ver, a partir de la descripción anterior que, en este caso, el Cartan caracteres del sistema se $(s_1,s_2) = (4,2)$ y el espacio de los elementos que forman parte en cada punto tiene dimensión $S = 8 = s_1 + 2s_2$, por lo que el sistema es involutiva y locales, y las soluciones existen y dependen $s_2 = 2$ funciones de $2$ variables (al menos en la analítica caso). (No es difícil demostrar que, de hecho, las soluciones locales a existir siempre, incluso en el buen caso, al $n=2$, pero déjame saltar sobre ese debate ahora. Básicamente, se pueden imponer dos condiciones, tales como $p^i_{jj}=0$, y, a continuación, la restricción del sistema se convierte en elíptica.)

Sin embargo, cuando se $n>2$, el ideal generado por los componentes de $\Upsilon$ no es diferencialmente cerrado. De hecho, uno tiene $$ \mathrm{d}\Upsilon = \mathrm{d}(\Theta \Omega) = \Theta\wedge\theta\theta\wedge\Theta \mathrm{d}\Omega = (\Omega\wedge\theta\theta\wedge\Omega \mathrm{d}\Omega) + (\Upsilon\wedge\theta\theta\wedge\Upsilon), $$ así, para obtener una diferencialmente cerrado ideal, se debe agregar los componentes de la $3$forma $\Psi = (\Omega\wedge\theta-\theta\wedge\Omega - \mathrm{d}\Omega)$. Tenga en cuenta que el $3$forma $\Psi$ no implican cualquiera de los derivados de $\theta$, y, de hecho, es lineal en los 'desconocidos' $p^i_{jk}$. De hecho, $$ \Psi^i_j = \tfrac12\bigl(R^i_{qkl}p^q_{jm}-R^q_{jkl}p^i_{qm} - S^i_{jklm} \bigr)\,\eta^k\wedge\eta^l\wedge\eta^m $$ para algunas funciones $S^i_{jklm}$ a $U$, por lo que se deduce que la gráfica de la solución del problema debe estar en el afín `subbundle' de $V = U\times\mathbb{R}^N$ definido por la desaparición de estos coeficientes. La mayoría de las veces, cuando $n>3$, esto es más ecuaciones que incógnitas $p^i_{jk}$, y este lugar estará vacía. Es un trivial conjunto de condiciones en $R$ (y sus derivados) que este lugar sea no vacío. (Por supuesto, una (pequeña) parte de estas condiciones es que el $\mathrm{d}\bigl(\mathrm{tr}(\Omega)\bigr) = 0$.)

Al $n=3$, las cosas son un poco más interesantes. Normalmente, siempre que $\mathrm{d}\bigl(\mathrm{tr}(\Omega)\bigr) = 0$ y el tensor de la $R$ es 'algebraicamente genéricos", en el sentido apropiado, las ecuaciones anteriores se define un afín bundle $W\subset V$ de la fila $9$ sobre $U$, y de forma genérica, la Cartan caracteres se $(s_1,s_2,s_3) = (9,0,0)$. Sin embargo, no será trivial de torsión, y el símbolo no será involutiva, por lo que recibirá más de obstrucciones en el siguiente nivel. Un análisis detallado es algo sucio, pero no son interesantes los casos especiales en los que la curvatura de la toma valores en un simple subalgebra, tales como ${\frak{so}}(3)$ o ${\frak{so}}(2,1)$.

Anexo 2: El OP pidió que se puede comprobar", y la discusión anterior no se refiere a esa pregunta. Yo tenía uno más pensé acerca de esto en las dimensiones por encima de $n=3$ que pensé que OP podría encontrar útil, así que aquí está:

Al $n\ge 4$, hay un algoritmo manera de proceder que trabaja en el "genéricos" de caso. Lo que quiero decir por "genéricos", es este: Decir que una curvatura como tensor $R$ que satisface la primera identidad de Bianchi es algebraicamente genérico si el núcleo de la asignación de $L(\phi) = \Omega\wedge\phi - \phi\wedge\Omega$, de $1$-formas con valores en $n$a$n$ matrices a $3$-formas con valores en $n$a$n$ matrices, consta de los elementos de la forma $\phi = \alpha\,I_n$ donde $\alpha$ es $1$-forma (tales elementos están siempre en el núcleo de $L$). No es difícil mostrar que, cuando se $n\ge 4$, el genérico de la curvatura-como tensor $R$ que satisface la primera identidad de Bianchi es algebraicamente genérico.

Supongamos que uno se da de una manera algebraica genérico $R$, y quiere comprobar si es la curvatura de torsión de conexión. Aquí están los pasos:

1. Prueba si $\mathrm{d}\Omega$ es en la imagen de $L$, es decir, si existe un traceless matriz con $1$-las entradas de formulario de $\phi$ tal que $\mathrm{d}\Omega = L(\phi) = \Omega\wedge\phi-\phi\wedge\Omega$. Debido a la forma algebraica genérico hipótesis, si $\phi$ existe (que es una cuestión de álgebra lineal), será único. Si no $\phi$ existe, entonces no hay solución.

2. Suponiendo que $\phi$, considere la $2$forma $\mathrm{d}\eta + \phi\wedge\eta$. Esta puede ser escrita en la forma $-\alpha\wedge\eta$ donde $\alpha$ es un (escalares) $1$-forma, o no. (Cuando puede ser escrita en esta forma, $\alpha$ es necesariamente única.) Si se puede, a continuación, $\theta = \phi + \alpha\,I_n$ es una torsión de conexión de forma que satisfaga $\mathrm{d}\Omega = \Omega\wedge\theta-\theta\wedge\Omega$ (y es el único de torsión de conexión sin forma). Si no se puede, no hay solución.

3. Por último, compruebe si $\mathrm{d}\theta + \theta\wedge\theta = \Omega$. Si esta ecuación se mantiene, entonces usted ha encontrado el (único) de torsión de conexión con la que se soluciona el problema. Si esto $\theta$ no funciona, entonces no hay solución.

Por lo tanto, generalmente, usted puede comprobar si su problema tiene una solución en dimensiones mayores de $3$. La única casos interesantes que quedan son aquellos en dimensión $3$ (donde el problema puede ser sutil, ya que $L$ siempre tiene un núcleo grande) o algebraicamente especial curvatura como tensores en las dimensiones superiores.