Lo siento, me di cuenta de que esto es no una respuesta. Yo soy la construcción de una de Riemann 3-colector $M$ con diámetro pequeño y trivial $\pi_2 M$ tal que para cualquier punto de $p$ en el tiempo de la cubierta $\widetilde M$ hay una secuencia de abrir incrustaciones
$$B_R(p)\hookrightarrow\mathbb R^3\hookrightarrow B_{10\cdot R}(p),$$
y su composición coinsides con el inclusionn $B_R(p)\hookrightarrow B_{10\cdot R}(p)$.
Espero que aún podría ser interesante.
Tomar la superficie de un $(2{\cdot}R+\tfrac1{100})$-largo y $\varepsilon$-delgado cilindro $C$, con tapas en $\mathbb R^3$ (más $C$ es llamado salchicha).
Piense en ello como una superficie de revolución alrededor de la $X$-eje.
Idetify puntos en $C$ a lo largo de la folloing relación de equivalencia
$$x\sim y\ \ \ \text{if}\ \ \ x-y=(\tfrac12,\varepsilon,0).$$
De esta manera obtener un $2$-dimensiones de CW-complejos, decir $W=C/\sim$ con $\pi_1 W=\mathbb Z$ y no trivial $\pi_2 W$.
Si se equipa $W$ con la inducida por la métrica intrínseca, a continuación, a continuación, $\mathop{\rm diam} W\approx \tfrac12$ y cualquier $R$-ball en la universalización de la cobertura $\widetilde W$ es contráctiles en una bola de radio $R+\tfrac1{10}$.
(Un áspero razón: $\widetilde W$ pegados a partir de una secuencia de salchichas. Si una bola de radio $R$ cruza de salchicha entonces no puede contener todo, pero la bola de radio $R+\tfrac1{10}$ con el mismo centro de containa al menos uno de los extremos, lo que hace posible reducir la intrsection a un punto).
Ahora $W$ puede ser embebido en $\mathbb R^3$, parece que el engrosamiento y, a continuación, duplicar produce un $3$-dimensiones del colector $M$ con la propiedad descrita anteriormente.
(Por suerte o por desgracia, cualquier bola en $\widetilde M$ contiene una curva cerrada de manera tal que se encoge, uno tiene que ir sobre $R$-lejos de la pelota.)
