La McKay conjetura y afines (Alperin, Issacs-Navarro) son uno de los "principales problemas de la teoría de representaciones de grupos finitos" (G. Navarro pdf). Declaración de la McKay conjetura es bastante simple:
McKay conjetura: para cualquier grupo finito $G$ y prime $p$ el siguiente se tiene:
El número de representaciones irreducibles de G de dimensión no divisible por $p$
es igual a
el número de representaciones irreducibles de la normalizador de la Sylow $p$-subgrupo $P$ de % de $G$ de dimensión no divisible por $p$.
es decir,
$$ |\mathrm{Irr}_{p'}(G) | = | \mathrm{Irr}_{p'}(N_G(P)) |. $$
(todas las representaciones aquí son más de los números complejos). La notación $\mathrm{Irr}_{p'}(H)$ denota el conjunto de irreductible repsentations de algún grupo $H$ con dimensiones no divisible por $p$.
La conjetura de los estados de la igualdad de los dos números, pero, por supuesto, uno puede esperar que no debe ser bijection entre subyacentes conjuntos de representaciones irreducibles. Así:
Pregunta: ¿Qué puede ser natural bijection en el caso más simple $G=\mathrm{GL}(2,\mathbf{F}_p)$ ? (Para $p$ igual que el anterior).
Se sabe que no hay elección libre de bijection, pero, sin embargo debe haber algún natural de la familia de bijections con el fin de explicar esto de alguna manera.
Lo que es desconcertante (ver más detalles abajo) - es muy muy sencillo para conseguir que la MITAD de las representaciones de $G$, a partir de las representaciones de $N_G(P)$ (que es el Borel subgrupo ): es la inducción de la Borel (=$N_G(P)$) a $G$. Pero, ¿cómo llegar a la otra mitad? La otra mitad son los llamados cuspidal de representaciones, que por definición son aquellos que NO SON INDUCIDAS a partir de la Borel (=$N_G(P)$) de los subgrupos. Por otra parte al hacer la inducción de obtener el encolado de irreductible representación de la Borel subgrupo por el grupo de Weyl acción, por lo que uno debe hacer alguna elección de los representantes en el grupo de Weyl órbitas para "despegar".
Más detalles sobre puzzle:
Permítanme recordarles la clasificación de representación irreducible de $GL(2,F_p)$ (uno puede mirar Garrett página 11, Etingof&K página 69 o refrences en MO271389). Y de la Borel (=$N_G(P)$) de los subgrupos.
El desconcertante resultado será que: no debe ser bijection entre (p-1)^2 caracteres de la norma toro (diagonal de las matrices) y la parte principal (incluyendo cuspidals) de representaions de $GL(2,F_p)$. Pero eso contradice estándar punto de vista de la causa cuspidal irreps corresponden a los personajes de la no-división de toro, mientras que McKay de alguna manera que predice de split toro. Parece ser que no existe una forma conocida de (para mí) para obtener cuspidals de la norma de división de toro (=diagonal de las matrices).
Representaciones de $\mathrm{GL}(2,\mathbf{F}_p)$ son bien conocidos para venir en 4 series:
1) de la Serie 1 - "det" - count = $(p-1)$, dimensión = 1
- 1-representaciones tridimensionales de factoring a través de la determinante,
2) de la Serie 2 - "regulares principal de la serie" - count = $(p-1)(p-2)/2$, dimensión = $p+1$
- los inducidos de la Borel subgrupo de a $G$ desde el personaje de Borel que es "regular", que significa que el personaje tiene diferentes valores en los dos generadores del toro,
3) de la Serie 3 - "cuspidal" - count = $(p)(p-1)/2$, dimensión = $p-1$
- aquellos que no son inducidas a partir de Borel y duro para conseguirlas
4) Serie 4 - "especial", count = $(p-1)$, dimensión = $p$ ,
- en realidad, esos son "irregulares principal de la serie".
Así que el 4 no es un caso interesante para nosotros en McKay conjetura,ya que, su dimensión es $p$ y divisible por $p$.
De los casos 2 y 3 obtenemos $(p-1)^2$ irreductible representaciones y añadiendo los del caso 1, obtenemos $(p-1)^2 + (p-1) = p(p-1)$.
Representaciones de Borel (=$N_G(P)$ - normalizador de Sylow p-subgrupo)
Borel = semidirect producto de 2-toro y abelian subgrupo de unipotentes matrices. Representaciones de semi-directa de productos fáciles de describir (ver, por ejemplo, Etingof&K página 76). Así que para el caso particular de Borel en GL(2):
Tenemos $(p-1)^2$ irreps de factoring a través de el toro (que son unidimensionales), y tenemos $(p-1)$ no trivial $(p-1)$-dimensiones irreps que son inducidos de no trivial de los personajes de la abelian subgrupo de unipotentes matrices.
Así que en total tenemos $(p-1)^2+(p-1) = p(p-1)$.
Así que tenemos coincidencia numérica $$ p(p-1) = |\mathrm{Irr}_{p'}(GL(2,\mathbf{F}_p) | = | \mathrm{Irr}_{p'}(Borel(2,\mathbf{F}_p)) | = |N_G(P)|. $$ - que es el predicho por la McKay conjetura.
Pero no veo cómo la bijection entre los dos conjuntos puede hacerse ! (Excepto es fácil proponer que el $(p-1)$ de tipo 1 para $\mathrm{GL}(2)$ debe corresponder a $(p-1)$ no unidimensional en irreps de Borel). El problema es que de alguna manera nos debe obtener cuspidal de la charactetrs de Borel = caracteres de la norma toro (diagonal de las matrices), pero parece ser que no se conoce la manera de hacerlo y además cuspidals siempre corresponden a los caracteres de la NO-división de toro. De alto nivel que se Deligne-Lusztig la teoría, a partir de la abajo-a-tierra las consideraciones que se ve mirando en conjugacy clases, como en las referencias anteriores.
