Las siguientes identidades mantenga para todos los verdaderos $x>0$. Su igualdad es la segunda identidad en $x=1$.
$$
-x + \frac{\pi}{12}(6x^2-1) + x\log{x} - x \log(2\pi) + 2\Im{\psi^{(-2)}(ix)} + \frac{1}{2\pi}\text{Li}_2(e^{-2\pi x}) = 0,\\
x + \frac{\pi}{12}(6x^2-1) - x\log{x} - x \log(2\pi) + 2\Im{\psi^{(-2)}(1+ix)} + \frac{1}{2\pi}\text{Li}_2(e^{-2\pi x}) = 0.
$$
Mis pruebas son una serie de manipulaciones, que ahora voy croquis. Para demostrar la identidad de la primera, considerar que el producto de la expansión de la función gamma:
$$
\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}.
$$
Tomar el logaritmo de ambos lados; el lado derecho es ahora una infinita suma. Expanda el $\log\left(1+\frac{z}{n}\right)$ plazo como la potencia de la serie acerca de la $z=0$, y cambiar el orden de la suma. Ahora tenemos:
$$
\log{\Gamma(z)} = -\gamma z - \log{z} + \sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k}{k}\zeta(k)z^{k}
$$
El polygamma $\psi^{(-2)}(z)$ (por que me refiero a la de Mathematica función de $\texttt{PolyGamma[-2,z]}$) es la antiderivada de $\log{\Gamma(z)}$ con $\psi^{(-2)}(0)=0$. La integración término a término, de conectar $z=ix$, y tomar sólo el imaginario de los términos, obtenemos
$$
\Im{\psi^{(-2)}(ix)} = -x\log{x} + x + \sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^\ell}{2\ell(2\ell+1)}\zeta(2\ell) x^{2\ell+1}.
$$
Para obtener la correspondiente expansión de la serie de $\text{Li}_2(e^{-2\pi x})$, comience con su segunda derivada
$$
\frac{d^2}{dx^2} \frac{1}{2\pi}\text{Li}_2(e^{-2\pi x}) = \frac{2\pi}{e^{2\pi x}-1} = x^{-1} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k!}(2\pi)^k x^{k-1}.
$$
Aquí, $B_k$ es el $k^{\rm th}$ número de Bernoulli. Después de integrar dos veces, la serie que nos dan para $\text{Li}_2(e^{-2\pi x})$ es
$$
\frac{1}{2\pi}\text{Li}_2(e^{-2\pi x}) = \frac{\pi}{12} + x\log{x} + (\log(2\pi)-1)x + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k(2\pi)^k}{k(k+1)k!} x^{k+1}.
$$
El $\frac{\pi}{12}$ término proviene del hecho de que $\text{Li}_2(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$. Usando la relación entre los números de Bernoulli e incluso valores zeta, esta serie puede ser reescrita
$$
\frac{1}{2\pi}\text{Li}_2(e^{-2\pi x}) = \frac{\pi}{12} + x\log{x} + (\log(2\pi)-1)x - \frac{\pi}{2}x^2 - \sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^\ell}{\ell(2\ell+1)} \zeta(2\ell) x^{2\ell+1}.
$$
Para obtener mi primera identidad, sólo tiene que añadir la serie de $2\Im{\psi^{(-2)}(ix)}$ e $\frac{1}{2\pi}\text{Li}_2(e^{-2\pi x})$; todo lo cancela más allá del término cuadrático. La segunda identidad---y las identidades de cada $m + ix$, $m \in \mathbb{Z}$---a seguir, desde la primera a través de la fórmula
$$
\psi^{(-2)}(z+1) = \psi^{(-2)}(z) + \frac{1}{2}\log(2\pi) + z\log{z} - z,
$$
lo que sí es un corolario de la funcional de la ecuación de $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$.
Tomar más antiderivatives nos dará identidades que implican $\Re\psi^{(-3)},\Im\psi^{(-4)},$ etc., pero esto no es particularmente interesante, ahora que sabemos de dónde vienen. Todos joro la identidad se corresponde, creo yo.
La parte real $\Re\psi^{(-2)}(ix)$ o $\Re\psi^{(-2)}(1+ix)$ recoge los impares, en lugar de, incluso, valores zeta en mi expansión de la serie. Debido a estos números, $\gamma,\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \ldots$, siendo tan misterioso para el número de teóricos, espero que $\Re\psi^{(-2)}(1+i)=1.13063...$ no tiene una forma cerrada de la expresión en términos de "simple" en las escuelas primarias y especiales de los valores de la función, definido de forma adecuada. También espero que una prueba de que tal declaración, incluso la irracionalidad, está más allá del alcance de los conocimientos actuales---pero yo estaría encantado de ser corregidos en cualquier momento.
